Sabe-se que a tensão em um capacitor de
é 6 V em
. A corrente no elemento é dada por
. Qual a máxima tensão no capacitor e quando ela ocorre? Utilizando um software para gerar o gráfico da potência, determine a máxima potência instantânea no capacitor. Quando ela ocorre?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um capacitor de
com uma tensão inicial de 6 V no tempo
. A corrente no capacitor é dada por
mA. Nosso objetivo é descobrir:
- Qual é a máxima tensão no capacitor e em que instante ela ocorre?
- Qual é a máxima potência instantânea no capacitor e quando ela ocorre?
Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre corrente, tensão e capacitância, além de trabalhar com funções senoidais e encontrar máximos dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a corrente está relacionada à tensão em um capacitor. A fórmula que liga corrente
, capacitância
e variação da tensão
é:
Onde:
-
é a corrente no capacitor -
é a capacitância -
é a tensão no capacitor -
é a derivada da tensão em relação ao tempo
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos rearranjar a equação para integrar em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar a expressão para encontrar a tensão
. A equação rearranjada fica:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
Aqui,
é a tensão inicial no capacitor, que sabemos ser 6 V.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na expressão. Temos:
Primeiro, convertemos a capacitância para Farads:
E a corrente para Amperes:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
A integral de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Vamos simplificar os coeficientes:
Então:
Passo 7
Distribuindo o -101:
Simplificando:
Então, a expressão para a tensão no capacitor é:
Passo 8
Agora, queremos encontrar a máxima tensão no capacitor. Observamos a expressão de
:
O termo
varia entre -1 e 1. A máxima tensão ocorre quando
é mínima, ou seja,
:
Passo 9
Para encontrar quando essa máxima tensão ocorre, precisamos saber para que
:
Sabemos que
, então:
Portanto, a máxima tensão de 208 V ocorre aproximadamente em
.
Passo 10
Agora, vamos determinar a máxima potência instantânea no capacitor. A potência
é dada por:
Já temos
e
mA. Primeiro, precisamos converter a corrente para Amperes:
Então,
Simplificando:
Passo 11
Para encontrar a máxima potência, podemos derivar
em relação a
e igualar a zero, mas isso resulta em uma equação complexa. Como solicitado, vamos utilizar um software para gerar o gráfico de
e identificar o pico máximo.
Após plotar
, observamos que a potência máxima ocorre quando tanto
quanto
são positivas e ativas ao mesmo tempo, atingindo o ponto de maior valor.
Passo 12
Após a análise gráfica, constatamos que a máxima potência instantânea é aproximadamente
e ocorre em
.
Resposta
A máxima tensão no capacitor é de 208 V, ocorrendo aproximadamente em 8,333 segundos. A máxima potência instantânea no capacitor é de 1,2 W, ocorrendo em torno de 4,167 segundos.
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a)
b)
Resp. a) b)
a)
b)
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O fio de cobre de
possui uma resistência de
. Qual a condutância de 12 km deste fio?
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Onde:
-
- temperatura da substância em kelvin. -
- energia de bandgap da substância. -
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