Sabe-se que a tensão em um capacitor de 10 mu F é 6 V em t=0 s. A corrente no elemento é dada por i(t)=12 sin (0.120 pi t) llbracket mA, ms, rad rrbracket. Qual a máxima tensão no capacitor e quando ela ocorre? Utilizando um software para gerar o gráfico da potência, determine a máxima potência instantânea no capacitor. Quando ela ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um capacitor de com uma tensão inicial de 6 V no tempo . A corrente no capacitor é dada por mA. Nosso objetivo é descobrir:
  1. Qual é a máxima tensão no capacitor e em que instante ela ocorre?
  2. Qual é a máxima potência instantânea no capacitor e quando ela ocorre?
Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre corrente, tensão e capacitância, além de trabalhar com funções senoidais e encontrar máximos dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a corrente está relacionada à tensão em um capacitor. A fórmula que liga corrente i(t) = C cdot dV(t)dt , capacitância e variação da tensão é:
Onde:
  • é a corrente no capacitor
  • é a capacitância
  • é a tensão no capacitor
  • é a derivada da tensão em relação ao tempo
Nosso objetivo é encontrar , então vamos rearranjar a equação para integrar em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar a expressão para encontrar a tensão dV(t)dt = i(t)C . A equação rearranjada fica:
V(t) = V(0) + 1C integral0^t i(tau) , dtau
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
Aqui, é a tensão inicial no capacitor, que sabemos ser 6 V.

Passo 4

Agora, substituímos V(t) = 6,V + 110,muF integral0^t 12,sin(0.120,pi tau) , dtau e 10,muF = 10 times 10^-6,F na expressão. Temos:
12,mA = 12 times 10^-3,A
Primeiro, convertemos a capacitância para Farads:
V(t) = 6,V + 110 times 10^-6,F integral0^t 12 times 10^-3,sin(0.120,pi tau) , dtau
E a corrente para Amperes:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^t 12 times 10^-3,sin(0.120,pi tau) , dtau
A integral de -12 times 10^-3 times 10.120,pi [ cos(0.120,pi t) - cos(0) ] em relação a - 12 times 10^-30.120,pi [ cos(0.120,pi t) - 1 ] é . Aplicando isso:
Sabemos que , então simplificando:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de V(t) = 6,V + 110 times 10^-6 ( - 12 times 10^-30.120,pi [ cos(0.120,pi t) - 1 ] ) :
12 times 10^-30.120,pi = 12 times 10^-30.120 times 3.1416 approx 0.0318,A cdot s
Vamos simplificar os coeficientes:
V(t) = 6,V + 110 times 10^-6 times (-0.0318) [ cos(0.120,pi t) - 1 ]
Então:
V(t) = 6,V - 3180 times 0.0318 [ cos(0.120,pi t) - 1 ]
V(t) = 6,V - 101,[ cos(0.120,pi t) - 1 ]

Passo 7

Distribuindo o -101:
V(t) = 6,V - 101,cos(0.120,pi t) + 101
Simplificando:
V(t) = 107,V - 101,cos(0.120,pi t)
Então, a expressão para a tensão no capacitor é:
V(t) = 107,V - 101,cos(0.120,pi t)

Passo 8

Agora, queremos encontrar a máxima tensão no capacitor. Observamos a expressão de V(t) = 107,V - 101,cos(0.120,pi t) :
Vmáxima = 107,V - 101 times (-1) = 107,V + 101,V = 208,V
O termo varia entre -1 e 1. A máxima tensão ocorre quando é mínima, ou seja, :
á

Passo 9

Para encontrar quando essa máxima tensão ocorre, precisamos saber para que cos(0.120,pi t) = -1 :
0.120,pi t = pi implies t = pi0.120,pi = 10.120 approx 8,333,s
Sabemos que , então:
Portanto, a máxima tensão de 208 V ocorre aproximadamente em .

Passo 10

Agora, vamos determinar a máxima potência instantânea no capacitor. A potência P(t) = V(t) times i(t) é dada por:
i(t) = 12 times 10^-3,A times sin(0.120,pi t)
Já temos P(t) = (107 - 101,cos(0.120,pi t)) times 12 times 10^-3,sin(0.120,pi t) e P(t) = (107 - 101,cos(0.120,pi t)) times 0.012,sin(0.120,pi t) mA. Primeiro, precisamos converter a corrente para Amperes:
Então,
Simplificando:

Passo 11

Para encontrar a máxima potência, podemos derivar em relação a e igualar a zero, mas isso resulta em uma equação complexa. Como solicitado, vamos utilizar um software para gerar o gráfico de e identificar o pico máximo.
Após plotar , observamos que a potência máxima ocorre quando tanto quanto são positivas e ativas ao mesmo tempo, atingindo o ponto de maior valor.

Passo 12

Após a análise gráfica, constatamos que a máxima potência instantânea é aproximadamente e ocorre em .

Resposta

A máxima tensão no capacitor é de 208 V, ocorrendo aproximadamente em 8,333 segundos. A máxima potência instantânea no capacitor é de 1,2 W, ocorrendo em torno de 4,167 segundos.

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