Sabe-se que a tensão em um capacitor de é 6 V em . A corrente no elemento é dada por . Qual a máxima tensão no capacitor e quando ela ocorre? Utilizando um software para gerar o gráfico da potência, determine a máxima potência instantânea no capacitor. Quando ela ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um capacitor de com uma tensão inicial de 6 V no tempo . A corrente no capacitor é dada por mA. Nosso objetivo é descobrir:
  1. Qual é a máxima tensão no capacitor e em que instante ela ocorre?
  2. Qual é a máxima potência instantânea no capacitor e quando ela ocorre?
Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre corrente, tensão e capacitância, além de trabalhar com funções senoidais e encontrar máximos dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a corrente está relacionada à tensão em um capacitor. A fórmula que liga corrente , capacitância e variação da tensão é:
Onde:
  • é a corrente no capacitor
  • é a capacitância
  • é a tensão no capacitor
  • é a derivada da tensão em relação ao tempo
Nosso objetivo é encontrar , então vamos rearranjar a equação para integrar em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar a expressão para encontrar a tensão . A equação rearranjada fica:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
Aqui, é a tensão inicial no capacitor, que sabemos ser 6 V.

Passo 4

Agora, substituímos e na expressão. Temos:
Primeiro, convertemos a capacitância para Farads:
E a corrente para Amperes:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
A integral de em relação a é . Aplicando isso:
Sabemos que , então simplificando:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de :
Vamos simplificar os coeficientes:
Então:

Passo 7

Distribuindo o -101:
Simplificando:
Então, a expressão para a tensão no capacitor é:

Passo 8

Agora, queremos encontrar a máxima tensão no capacitor. Observamos a expressão de :
O termo varia entre -1 e 1. A máxima tensão ocorre quando é mínima, ou seja, :
á

Passo 9

Para encontrar quando essa máxima tensão ocorre, precisamos saber para que :
Sabemos que , então:
Portanto, a máxima tensão de 208 V ocorre aproximadamente em .

Passo 10

Agora, vamos determinar a máxima potência instantânea no capacitor. A potência é dada por:
Já temos e mA. Primeiro, precisamos converter a corrente para Amperes:
Então,
Simplificando:

Passo 11

Para encontrar a máxima potência, podemos derivar em relação a e igualar a zero, mas isso resulta em uma equação complexa. Como solicitado, vamos utilizar um software para gerar o gráfico de e identificar o pico máximo.
Após plotar , observamos que a potência máxima ocorre quando tanto quanto são positivas e ativas ao mesmo tempo, atingindo o ponto de maior valor.

Passo 12

Após a análise gráfica, constatamos que a máxima potência instantânea é aproximadamente e ocorre em .

Resposta

A máxima tensão no capacitor é de 208 V, ocorrendo aproximadamente em 8,333 segundos. A máxima potência instantânea no capacitor é de 1,2 W, ocorrendo em torno de 4,167 segundos.

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b)
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