Desenhe a imagem de
em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a imagem da função vetorial para
. Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como representam essas curvas e como as componentes da função influenciam a forma da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui,
é uma função vetor que mapeia cada valor de
para um ponto no espaço
.
Vamos separar as componentes:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada componente:
-
e : Essas duas componentes formam uma espiral no plano . O termo faz com que a amplitude das oscil ações ( e ) diminua conforme aumenta, criando uma espiral que se aproxima do ponto de origem. -
: Essa componente também é , o que significa que, à medida que aumenta, o valor de diminui exponencialmente, movendo-se para baixo no eixo .
Passo 4
Juntando tudo, a curva
descreve uma espiral descendente no espaço tridimensional. À medida que
aumenta:
- A espiral no plano
diminui de tamanho devido ao fator . - A componente
também diminui, fazendo com que a espiral desça ao longo do eixo .
Passo 5
Para desenhar a imagem de
, imagine uma espiral que começa com um raio maior quando
e vai se contraindo, enquanto desce no eixo
. Conforme
tende ao infinito, a espiral se aproxima do ponto
.
Resposta
A imagem de para
é uma espiral descendente no espaço tridimensional que se aproxima do ponto de origem à medida que
aumenta.