Desenhe a imagem de F em que F(t) = e^(-t) * (cos(t), sen(t), 1), t ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a imagem da função vetorial para . Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como representam essas curvas e como as componentes da função influenciam a forma da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é uma função vetor que mapeia cada valor de para um ponto no espaço .
Vamos separar as componentes:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada componente:
  • e : Essas duas componentes formam uma espiral no plano . O termo faz com que a amplitude das oscil ações ( e ) diminua conforme aumenta, criando uma espiral que se aproxima do ponto de origem.
  • : Essa componente também é , o que significa que, à medida que aumenta, o valor de diminui exponencialmente, movendo-se para baixo no eixo .

Passo 4

Juntando tudo, a curva descreve uma espiral descendente no espaço tridimensional. À medida que aumenta:
  1. A espiral no plano diminui de tamanho devido ao fator .
  2. A componente também diminui, fazendo com que a espiral desça ao longo do eixo .

Passo 5

Para desenhar a imagem de , imagine uma espiral que começa com um raio maior quando e vai se contraindo, enquanto desce no eixo . Conforme tende ao infinito, a espiral se aproxima do ponto .

Resposta

A imagem de para é uma espiral descendente no espaço tridimensional que se aproxima do ponto de origem à medida que aumenta.

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