Resolver as EDO d y/d x = tg(x) * y + cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordenada (EDO) do tipo . Essa equação é uma equação linear de primeira ordem, que significa que podemos resolver usando um fator integrante. Vamos precisar lembrar como encontrar esse fator para poder resolver a equação e achar .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . No nosso caso:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo por :
Sabemos que , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando :
Então, a equação fica:

Passo 5

A boa notícia é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de . Ou seja:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

A integral do lado esquerdo é simples:
Para resolver , usamos a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 7

Voltando à equação:
Agora, isolamos :
Podemos simplificar mais:
Usando a identidade :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados