Resolver as EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordenada (EDO) do tipo
. Essa equação é uma equação linear de primeira ordem, que significa que podemos resolver usando um fator integrante. Vamos precisar lembrar como encontrar esse fator para poder resolver a equação e achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. No nosso caso:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
por
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando
:
Então, a equação fica:
Passo 5
A boa notícia é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
. Ou seja:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integral do lado esquerdo é simples:
Para resolver
, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 7
Voltando à equação:
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar mais:
Usando a identidade
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“22.324ex” height=“2.713ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -849.5 9867 1199”><title>x y dx - (1 + x^2) dy = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 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