Resolver as seguintes EDO x y dx - (1 + x^2) dy = 0 PVI: y(0) = 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que você me passou: , com a condição inicial .
Nesse exercício, vamos trabalhar com EDOs de primeira ordem, que são equações que envolvem a primeira derivada de uma função desconhecida. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para encontrar a função que satisfaz tanto a EDO quanto a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixar a derivada isolada. Começamos dividindo ambos os lados da equação por :
Agora, isolamos :

Passo 3

Essa é uma EDO linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
Aqui, identificamos:

Passo 4

Para resolver uma EDO linear, usamos o fator integrante. Ele é definido como:
Vamos calcular esse fator:
Para integrar, fazemos uma substituição simples:
Seja , então , ou seja, .
Então, a integral fica:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A razão disso é que, ao multiplicar pela fator integrante, a equação se torna exata, permitindo que escrevamos a derivada de uma expressão única.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da EDO com a condição inicial dada é:

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