Resolver as seguintes EDO
PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que você me passou:
, com a condição inicial
.
Nesse exercício, vamos trabalhar com EDOs de primeira ordem, que são equações que envolvem a primeira derivada de uma função desconhecida. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para encontrar a função
que satisfaz tanto a EDO quanto a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixar a derivada
isolada. Começamos dividindo ambos os lados da equação por
:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Essa é uma EDO linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
Aqui, identificamos:
Passo 4
Para resolver uma EDO linear, usamos o fator integrante. Ele é definido como:
Vamos calcular esse fator:
Para integrar, fazemos uma substituição simples:
Seja
, então
, ou seja,
.
Então, a integral fica:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A razão disso é que, ao multiplicar pela fator integrante, a equação se torna exata, permitindo que escrevamos a derivada de uma expressão única.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da EDO com a condição inicial dada é: