Desenhe (e pinte) a região delimitada por . Em seguida, obtenha o sólido obtido pela rotação da região em torno da reta . Monte a integral que determine o volume de tal sólido (não é necessário calcular tal volume).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar e pintar uma região chamada que é limitada por algumas linhas: , (que é o eixo x), e as linhas verticais e . Depois, vamos girar essa região em torno da reta e montar uma integral para encontrar o volume do sólido gerado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente integração para volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender e desenhar a região . A linha é uma reta que passa pela origem e sobe com inclinação 45°. A linha é o eixo x. As linhas verticais e são linhas paralelas ao eixo y que cortam o eixo x nos pontos 2 e 4, respectivamente.

Passo 3

Desenhando essas linhas no plano cartesiano, a região fica entre e , abaixo da reta e acima do eixo x . Então, é um trapézio ou uma região triangular dependendo da interseção, mas nesse caso, é uma região triangular.

Passo 4

Agora, vamos girar essa região em torno da reta . Para encontrar o volume do sólido formado por essa rotação, podemos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Aqui, vamos optar pelo método das cascas cilíndricas porque a rotação é em torno de uma reta vertical diferente do eixo de integração.

Passo 5

No método das cascas, a fórmula para o volume é:
Aqui, a altura da casca é dada pela função , e o raio é a distância entre e a reta de rotação , que é . Como varia de 2 a 4, o raio será .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Isso simplifica para:

Resposta

A integral que determina o volume do sólido é:

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