Desenhe (e pinte) a região
delimitada por
. Em seguida, obtenha o sólido obtido pela rotação da região
em torno da reta
. Monte a integral que determine o volume de tal sólido (não é necessário calcular tal volume).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar e pintar uma região chamada
que é limitada por algumas linhas:
,
(que é o eixo x), e as linhas verticais
e
. Depois, vamos girar essa região em torno da reta
e montar uma integral para encontrar o volume do sólido gerado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente integração para volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender e desenhar a região
. A linha
é uma reta que passa pela origem e sobe com inclinação 45°. A linha
é o eixo x. As linhas verticais
e
são linhas paralelas ao eixo y que cortam o eixo x nos pontos 2 e 4, respectivamente.
Passo 3
Desenhando essas linhas no plano cartesiano, a região
fica entre
e
, abaixo da reta
e acima do eixo x
. Então, é um trapézio ou uma região triangular dependendo da interseção, mas nesse caso, é uma região triangular.
Passo 4
Agora, vamos girar essa região
em torno da reta
. Para encontrar o volume do sólido formado por essa rotação, podemos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Aqui, vamos optar pelo método das cascas cilíndricas porque a rotação é em torno de uma reta vertical diferente do eixo de integração.
Passo 5
No método das cascas, a fórmula para o volume
é:
Aqui, a altura da casca é dada pela função
, e o raio é a distância entre
e a reta de rotação
, que é
. Como
varia de 2 a 4, o raio será
.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Isso simplifica para:
Resposta
A integral que determina o volume do sólido é:
Exercícios relacionados
Faça o que se pede em cada item: Sendo
, calcule
.
Parametrize as curvas abaixo de acordo com as instruções dadas e esboce seu gráfico:
, com
.
Parametrize as curvas abaixo de acordo com as instruções dadas e esboce seu gráfico:
, com
Parametrize as curvas abaixo de acordo com as instruções dadas e esboce seu gráfico: O segmento de reta que começa em
e termina em