Parametrize as curvas abaixo de acordo com as instruções dadas e esboce seu gráfico:
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para parametrizar a curva definida por
e desenhar seu gráfico. Isso está ligado ao conteúdo de parametrização de curvas, especificamente de elipses. Para resolver, vamos precisar lembrar como parametrizar uma elipse padrão e adaptar para essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação dada é a de uma elipse. A forma geral da equação de uma elipse centrada em
é
, onde
é o semi-eixo maior e
o semi-eixo menor.
Passo 3
No nosso caso, comparando com a equação padrão, vemos que
,
,
então
, e
então
. Isso significa que a elipse está centrada em
, tem semi-eixo maior de comprimento 2 na direção do eixo
e semi-eixo menor de comprimento 1 na direção do eixo
.
Passo 4
A parametrização padrão de uma elipse centrada em
é dada por:
onde
varia de
a
.
Passo 5
Aplicando os valores identificados, temos:
com
.
Resposta
A parametrização da curva é:
para
.
Exercícios relacionados
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (d)
Faça o que se pede: Se
, em que
e
, determine
quando
.
Faça o que se pede em cada item: Sendo
, calcule
.
Desenhe (e pinte) a região
delimitada por
. Em seguida, obtenha o sólido obtido pela rotação da região
em torno da reta
. Monte a integral que determine o volume de tal sólido (não é necessário calcular tal volume).