Parametrize as curvas abaixo de acordo com as instruções dadas e esboce seu gráfico:
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa parametrizar a curva definida pela equação
no intervalo onde
varia de -1 até 1. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas no plano cartesiano. A parametrização basicamente transforma uma equação em termos de
e
para duas equações que dependem de um parâmetro, geralmente chamado de
. Vamos precisar definir como
e
vão depender desse
para cobrir todo o intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um parâmetro simples para facilitar: vamos deixar
. Isso significa que vamos expressar
como
e depois substituí-lo na equação de
. Então, temos:
Passo 3
Agora que definimos
, vamos substituir esse valor na equação original para encontrar
:
Substituindo
por
:
Passo 4
Então, nossa parametrização fica assim:
Onde
varia de -1 a 1, assim cobrindo todo o intervalo que a questão pediu.
Passo 5
Para esboçar o gráfico dessa curva parametrizada, podemos pensar nos valores que
assume. Quando
, temos:
E quando
:
Entre esses valores, o gráfico será uma curva que passa por esses pontos e segue a forma de
, que é uma função cúbica deslocada para cima.
Resposta
A parametrização da curva
no intervalo
é:
com
variando de -1 a 1.