Faça o que se pede em cada item: Sendo
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função vetorial
e precisamos calcular a integral de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de funções vetoriais, que basicamente envolve integrar cada componente do vetor separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando integramos uma função vetorial, como
, a integral é feita componente por componente. Ou seja:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar integrando cada componente:
- Primeira componente:
Sabemos que a integral de
é
, então:
- Segunda componente:
A integral de
é
, então:
- Terceira componente:
A integral de
é
, multiplicando por 2:
Passo 4
Agora, juntando todas as integrais das componentes, temos:
Como estamos trabalhando com integrais indefinidas, geralmente representamos as constantes de integração como um vetor constante
.
Passo 5
Portanto, a integral da função vetorial
é:
Resposta
A integral de
é
, onde
é o vetor constante de integração.
Exercícios relacionados
Parametrize as curvas abaixo de acordo com as instruções dadas e esboce seu gráfico:
, com
.
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (d)
Desenhe (e pinte) a região
delimitada por
. Em seguida, obtenha o sólido obtido pela rotação da região
em torno da reta
. Monte a integral que determine o volume de tal sólido (não é necessário calcular tal volume).
Parametrize as curvas abaixo de acordo com as instruções dadas e esboce seu gráfico:
, com