Faça o que se pede em cada item: Sendo r(t)=lang<= 2 cos (t), sen(t), 2 trang<=, calcule integral r(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função vetorial e precisamos calcular a integral de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de funções vetoriais, que basicamente envolve integrar cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando integramos uma função vetorial, como integral r(t) , dt = lang<= integral f(t) , dt, integral g(t) , dt, integral h(t) , dt rang<= , a integral é feita componente por componente. Ou seja:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos começar integrando cada componente:
  1. Primeira componente: integral 2 cos(t) , dt = 2 sin(t) + C1
Sabemos que a integral de integral sin(t) , dt = -cos(t) + C2 é integral 2t , dt = 2 cdot t^22 = t^2 + C3 , então:
  1. Segunda componente:
A integral de é , então:
  1. Terceira componente:
A integral de é , multiplicando por 2:

Passo 4

Agora, juntando todas as integrais das componentes, temos:
integral r(t) , dt = lang<= 2 sin(t) + C1, -cos(t) + C2, t^2 + C3 rang<=
Como estamos trabalhando com integrais indefinidas, geralmente representamos as constantes de integração como um vetor constante .

Passo 5

Portanto, a integral da função vetorial integral r(t) , dt = lang<= 2 sin(t), -cos(t), t^2 rang<= + C é:

Resposta

A integral de é , onde é o vetor constante de integração.

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