Desenhe a região de integração e determine o volume do sólido dado.
Abaixo da superfície z = 2*x + y^2 e acima da região limitada por x = y^2 e x = y^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer determinar o volume de um sólido que está abaixo da superfície e acima da região limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região de integração no plano . As curvas que delimitam essa região são e . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para definir os limites de integração.

Passo 3

Igualando , temos:
Isso nos dá ou . Portanto, os limites para são de 0 a 1.

Passo 4

Para cada valor de entre 0 e 1, varia de a . Então, os limites de integração para são:

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume :
Aqui, é a função que descreve a altura da superfície acima da região de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando com relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado com relação a :

Passo 8

Vamos calcular essa expressão:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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