Desenhe a região de integração e determine o volume do sólido dado.
Abaixo da superfície
e acima da região limitada por
e
.
Abaixo da superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer determinar o volume de um sólido que está abaixo da superfície
e acima da região limitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região de integração no plano
. As curvas que delimitam essa região são
e
. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para definir os limites de integração.
Passo 3
Igualando
, temos:
Isso nos dá
ou
. Portanto, os limites para
são de 0 a 1.
Passo 4
Para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
a
. Então, os limites de integração para
são:
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume
:
Aqui,
é a função que descreve a altura da superfície acima da região de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando com relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado com relação a
:
Passo 8
Vamos calcular essa expressão:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.