Esboce e descreva o dominio das funções abaixo, calculando os valores funcionais indicados.
d)
.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para esboçar e descrever o domínio da função
e calcular os valores
e
. Aqui, vamos trabalhar com funções de duas variáveis, envolvendo funções trigonométricas e radicais. Para isso, precisamos entender como determinar o domínio de uma função e como calcular valores específicos substituindo as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
Passo 3
Como a função envolve uma raiz quadrada, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz seja maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais. Portanto, temos a condição:
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade:
Sabemos que o seno de qualquer ângulo nunca excede 1 e atinge esse valor apenas em pontos específicos. Portanto, a única solução para essa desigualdade é quando:
Passo 5
A igualdade
ocorre quando o ângulo
é igual a
, onde
é qualquer número inteiro. Aplicando isso à nossa função:
Passo 6
Isso significa que o domínio da função
consiste em todos os pares
que satisfazem a equação acima. Geometricamente, isso representa uma série de linhas retas no plano
, onde cada linha está definida por
.
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores funcionais indicados:
Primeiro,
:
Como estamos trabalhando com números reais,
não está definido. Portanto,
não existe nos números reais.
Passo 8
Em seguida,
:
Assim como no caso anterior,
não está definido nos números reais, então
também não existe nos números reais.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem
, onde
é um número inteiro. Além disso, os valores
e
não estão definidos nos números reais.