Desenhe a região de integração e determine o volume do sólido dado.
Limitado pelo paraboloide z = x^2 + y^2 + 1 e pelos planos x=0, y=0, z=0 e x + y = 2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que desenhar a região onde vamos integrar e calcular o volume de um sólido limitado pelo paraboloide e pelos planos , , e . Vamos precisar usar cálculo em coordenadas cartesianas e entender como esses planos e superfícies se intersectam para definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies que delimitam o sólido. O paraboloide abre para cima a partir de . Os planos e são os eixos e respectivamente. O plano é o plano horizontal no fundo. E o plano é uma reta que intercepta os eixos e nos pontos e .

Passo 3

Vamos determinar a região de integração no plano . Como começa em 0 e vai até o paraboloide, precisamos achar onde o paraboloide intersecta o plano :
Isso não tem solução real, então o paraboloide nunca toca o plano . Portanto, o sólido está acima do plano e abaixo do paraboloide. A região no plano é limitad
a pelos planos , e . Essa é uma região triangular com vértices em , e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. O volume é dado por:
Aqui, e . A região é o triângulo definido por , e .
Vamos integrar em termos de e :

Resposta

Depois de resolver a integral dupla, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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