Desenhe a região de integração e determine o volume do sólido dado.
Limitado pelo paraboloide
e pelos planos
e
.
Limitado pelo paraboloide
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que desenhar a região onde vamos integrar e calcular o volume de um sólido limitado pelo paraboloide
e pelos planos
,
,
e
. Vamos precisar usar cálculo em coordenadas cartesianas e entender como esses planos e superfícies se intersectam para definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies que delimitam o sólido. O paraboloide
abre para cima a partir de
. Os planos
e
são os eixos
e
respectivamente. O plano
é o plano horizontal no fundo. E o plano
é uma reta que intercepta os eixos
e
nos pontos
e
.
Passo 3
Vamos determinar a região de integração no plano
. Como
começa em 0 e vai até o paraboloide, precisamos achar onde o paraboloide intersecta o plano
:
Isso não tem solução real, então o paraboloide nunca toca o plano
. Portanto, o sólido está acima do plano
e abaixo do paraboloide. A região no plano
é limitad
a pelos planos
,
e
. Essa é uma região triangular com vértices em
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. O volume
é dado por:
Aqui,
e
. A região
é o triângulo definido por
,
e
.
Vamos integrar em termos de
e
:
Resposta
Depois de resolver a integral dupla, o volume do sólido é
unidades cúbicas.