Desenhe as seguintes curvas: f(t) = 2 cost, sent ) com t in [0, 2 pi].

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o exercício. Precisamos desenhar a curva definida pela função parametrizada onde varia de a . Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e curvas paramétricas. Vamos precisar conhecer as funções cosseno e seno, além de entender como elas se comportam quando são usadas para definir posições em um plano.

Passo 2

Vamos começar identificando o que cada parte da função representa. A função é uma função paramétrica, onde:
  • é a coordenada horizontal.
  • é a coordenada vertical.
    Aqui, é o parâmetro que varia de a , representando um ângulo em radianos.

Passo 3

Agora, vamos lembrar das funções trigonométricas:
  • Cosseno ( ): Dá a projeção do ponto na horizontal em um círculo unitário.
  • Seno (): Dá a projeção do ponto na vertical em um círculo unitário.
    No nosso caso, a função está multiplicada por , o que significa que estamos esticando a projeção horizontal em duas vezes em comparação com o círculo unitário.

Passo 4

Para desenhar a curva, vamos calcular alguns pontos chave para diferentes valores de :
  • Para :
    • Ponto:
  • Para :
    • Ponto:
  • Para :
    • Ponto:
  • Para :
    • Ponto:
  • Para :
    • Ponto:

Passo 5

Plotando esses pontos no plano cartesiano e conectando-os, percebemos que a curva formada é uma elipse. A razão pela qual não é um círculo perfeito é devido ao fator multiplicando o cosseno, que estica a curva horizontalmente. A elipse resultante tem seu maior eixo na direção horizontal com comprimento (de a ) e seu menor eixo na direção vertical com comprimento (de a ).

Resposta

A curva para é uma elipse centrada na origem, com eixo maior na horizontal de comprimento e eixo menor na vertical de comprimento .

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