Desenhe as seguintes curvas:
cost, sent
com
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o exercício. Precisamos desenhar a curva definida pela função parametrizada onde
varia de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e curvas paramétricas. Vamos precisar conhecer as funções cosseno e seno, além de entender como elas se comportam quando são usadas para definir posições em um plano.
Passo 2
Vamos começar identificando o que cada parte da função representa. A função é uma função paramétrica, onde:
-
é a coordenada horizontal. - é a coordenada vertical.
Aqui,é o parâmetro que varia de a , representando um ângulo em radianos.
Passo 3
Agora, vamos lembrar das funções trigonométricas:
- Cosseno (
): Dá a projeção do ponto na horizontal em um círculo unitário. - Seno (): Dá a projeção do ponto na vertical em um círculo unitário.
No nosso caso, a funçãoestá multiplicada por , o que significa que estamos esticando a projeção horizontal em duas vezes em comparação com o círculo unitário.
Passo 4
Para desenhar a curva, vamos calcular alguns pontos chave para diferentes valores de
:
- Para
: -
- Ponto:
-
- Para
: -
- Ponto:
-
- Para
: -
- Ponto:
-
- Para
: -
- Ponto:
-
- Para
: -
- Ponto:
-
Passo 5
Plotando esses pontos no plano cartesiano e conectando-os, percebemos que a curva formada é uma elipse. A razão pela qual não é um círculo perfeito é devido ao fator
multiplicando o cosseno, que estica a curva horizontalmente. A elipse resultante tem seu maior eixo na direção horizontal com comprimento
(de
a
) e seu menor eixo na direção vertical com comprimento
(de
a
).
Resposta
A curva para
é uma elipse centrada na origem, com eixo maior na horizontal de comprimento
e eixo menor na vertical de comprimento
.
Exercícios relacionados
Seja
a sequência definida por
e
para cada
. Assumindo que
converge, calcule o seu limite.
Seja
. Determine se a série é convergente ou divergente.
Determine o valor de
para que
.
Dar um exemplo de duas sequências diferentes que tenham os mesmos elementos.