Seja a_n a sequência definida por a1 = 1 e a_{n+1} = a_{n}/2 + 2 para cada n ≥ 1. Assumindo que a_n converge, calcule o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida assim: começa com e cada termo seguinte é dado por . O objetivo aqui é descobrir qual é o limite dessa sequência quando fica bem grande. Vamos usar conceitos de sequências e limites para resolver isso. Precisamos entender como a sequência evolui e encontrar o valor para o qual ela está se aproximando.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência realmente converge para algum limite . Isso significa que, quando é muito grande, e ficam muito próximos de . Então, podemos substituir e por na fórmula que define a sequência:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Vamos isolar na equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso simplifica para:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Resposta

O limite da sequência é 4.

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