Seja sumn=1^infty 3^n-1-2^n-16^n-1. Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza! A gente vai analisar se a série sumn=1^infty 3^n-1-2^n-16^n-1 converge ou diverge. Isso tá relacionado ao conteúdo de séries infinitas e testes de convergência que a gente usa pra ver se a soma infinita chega a um número específico ou não. Vamos precisar simplificar os termos da série e usar um teste de convergência para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: 3^n-1 - 2^n-16^n-1. A gente pode reescrever isso de uma forma mais simples.

Passo 3

Vamos dividir cada termo do numerador por 6^n-1:
3^n-16^n-1 - 2^n-16^n-1 = (36)^n-1 - (26)^n-1 = (12)^n-1 - (13)^n-1

Passo 4

Agora, percebemos que a série é a soma de duas séries geométricas:
sumn=1^infty (12)^n-1 - sumn=1^infty (13)^n-1
Sabemos que uma série geométrica sumn=0^infty ar^n converge se |r| < 1 e sua soma é a1 - r.

Passo 5

Para cada uma das séries:
  1. Para sumn=1^infty (12)^n-1, temos a = 1 e r = 12. Como |12| < 1, essa série converge e sua soma é 11 - 12 = 2.
  2. Para sumn=1^infty (13)^n-1, temos a = 1 e r = 13. Como |13| < 1, essa série também converge e sua soma é 11 - 13 = 32.

Passo 6

Agora, subtraímos as somas das duas séries:
2 - 32 = 42 - 32 = 12

Resposta

A série sumn=1^infty 3^n-1-2^n-16^n-1 é convergente e sua soma é 12.

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