Seja
. Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza! A gente vai analisar se a série
converge ou diverge. Isso tá relacionado ao conteúdo de séries infinitas e testes de convergência que a gente usa pra ver se a soma infinita chega a um número específico ou não. Vamos precisar simplificar os termos da série e usar um teste de convergência para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. A gente pode reescrever isso de uma forma mais simples.
Passo 3
Vamos dividir cada termo do numerador por
:
Passo 4
Agora, percebemos que a série é a soma de duas séries geométricas:
Sabemos que uma série geométrica
converge se
e sua soma é
.
Passo 5
Para cada uma das séries:
- Para
, temos e . Como , essa série converge e sua soma é . - Para
, temos e . Como , essa série também converge e sua soma é .
Passo 6
Agora, subtraímos as somas das duas séries:
Resposta
A série
é convergente e sua soma é
.
Exercícios relacionados
Encontre a soma da série geométrica:
Determine o intervalo de convergência da série de potências
.
Seja
a sequência definida por
e
para cada
. Assumindo que
converge, calcule o seu limite.
Desenhe as seguintes curvas:
cost, sent
com
.