Desenhe as seguintes figuras.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenhar a figura definida pela equação polar . Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, que utilizam um raio e um ângulo para localizar pontos no plano. Para desenhar essa curva, precisamos entender como varia com e identificar pontos chave que nos ajudarão a esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o entendimento. Temos:
Para encontrar em função de , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Aqui, percebemos que para ser um número real, o valor de deve ser não negativo, ou seja, . Isso acontece quando está no intervalo de a radianos.

Passo 3

Vamos identificar pontos específicos para diferentes valores de dentro do intervalo válido:
  • Quando :
    O ponto é na coordenada polar.
  • Quando :
    O ponto está em .
  • Quando :
    O ponto está na origem.
  • Quando :
    O ponto está em .

Passo 4

Agora, vamos analisar a simetria da curva. A equação sugere que a curva é simétrica em relação ao eixo , porque é uma função par ( ). Isso significa que a parte da curva para positivo será um espelho da parte para negativo.

Passo 5

Com base nos pontos calculados e na simetria identificada, podemos começar a desenhar a curva:
  1. Marque os pontos , , e no plano polar.
  2. Conecte esses pontos suavemente, lembrando que a curva é simétrica em relação ao eixo .
  3. A curva resultante terá o formato de uma lemniscata ou um formato de “olho” estendido ao longo do eixo .

Resposta

Ao final, a figura de é uma curva simétrica ao eixo que se assemelha a uma lemniscata estendida, com a maior extensão no ponto e interceptando o eixo novamente na origem. Para desenhá-la, plote os pontos calculados, utilize a simetria em relação ao eixo e conecte os pontos suavemente para formar a curva característica.

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h)
Desenhe as seguintes curvas:
$(a) cost, sent com .