Desenhe as seguintes figuras.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenhar a figura definida pela equação polar
. Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, que utilizam um raio
e um ângulo
para localizar pontos no plano. Para desenhar essa curva, precisamos entender como
varia com
e identificar pontos chave que nos ajudarão a esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o entendimento. Temos:
Para encontrar
em função de
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Aqui, percebemos que para
ser um número real, o valor de
deve ser não negativo, ou seja,
. Isso acontece quando
está no intervalo de
a
radianos.
Passo 3
Vamos identificar pontos específicos para diferentes valores de
dentro do intervalo válido:
-
Quando
: O ponto éna coordenada polar. -
Quando
: O ponto está em. -
Quando
: O ponto está na origem. -
Quando
: O ponto está em.
Passo 4
Agora, vamos analisar a simetria da curva. A equação
sugere que a curva é simétrica em relação ao eixo
, porque
é uma função par (
). Isso significa que a parte da curva para
positivo será um espelho da parte para
negativo.
Passo 5
Com base nos pontos calculados e na simetria identificada, podemos começar a desenhar a curva:
- Marque os pontos
, , e no plano polar. - Conecte esses pontos suavemente, lembrando que a curva é simétrica em relação ao eixo
. - A curva resultante terá o formato de uma lemniscata ou um formato de “olho” estendido ao longo do eixo
.
Resposta
Ao final, a figura de
é uma curva simétrica ao eixo
que se assemelha a uma lemniscata estendida, com a maior extensão no ponto
e interceptando o eixo
novamente na origem. Para desenhá-la, plote os pontos calculados, utilize a simetria em relação ao eixo
e conecte os pontos suavemente para formar a curva característica.