Um determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial
u'' + 1/4 u' + u = k g(t), u(0) = 0, u'(0) = 0
onde g(t) = u(3/2)(t) - u(5/2)(t) e k > 0 é um parâmetro. Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve um sistema mola-massa. A equação que a gente tem é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. O que vamos precisar usar aqui são técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, encontrar soluções homogêneas e particulares, além de aplicar as condições iniciais pra achar os valores das constantes. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que precisamos resolver:
Aqui, representa a função degrau de Heaviside deslocada, ou seja, . Então, é uma função que vale 1 entre e , e 0 fora desse intervalo.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo do lado direito:
Para isso, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo tudo por (que nunca é zero):

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:

Passo 5

Com as raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é uma combinação de funções degrau, a solução particular será a resposta do sistema a esses “impulsos”. Usando o método de superposição, vamos considerar a resposta a cada degrau separadamente.

Passo 7

A solução completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Onde será construído com base nos termos de , considerando que os degraus ativam a resposta do sistema a e desativam a resposta a .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Onde é a solução particular construída a partir dos termos de , e as constantes e são determinadas pelas condições iniciais e .

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