Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores
h)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que precisamos fazer. Temos a função . Vamos analisar onde essa função é crescente ou decrescente, encontrar seus máximos e mínimos locais, determinar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão, identificar assíntotas horizontais e verticais, e finalmente, esboçar o gráfico usando todas essas informações. Para isso, vamos precisar derivar a função para estudar seu comportamento.

Passo 2

Vamos começar determinando a primeira derivada de , que nos ajudará a encontrar onde a função é crescente ou decrescente.
Explicando, usamos a regra da cadeia para derivar , onde .

Passo 3

Agora, para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal da primeira derivada .
Como é sempre positivo e também é sempre positivo para , então para todo no domínio da função.
Isso significa que a função é sempre crescente onde está definida.

Passo 4

Como a função é sempre crescente, não há pontos de máximo ou mínimo locais.

Passo 5

Vamos agora encontrar a segunda derivada para determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Primeiro, calculamos a segunda derivada :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal da segunda derivada .
Resolvemos :
Simplificando:


Então, temos um possível ponto de inflexão em .
Analisando os sinais:
  • Para , → Concavidade para cima.
  • Para , → Concavidade para baixo.
Portanto, é um ponto de inflexão.

Passo 7

Agora, vamos identificar as assíntotas.
Assíntotas Verticais:
A função está indefinida quando , ou seja, em . Portanto, temos uma assíntota vertical em .
Assíntotas Horizontais:
Analisamos os limites da função quando tende a e :
Então, há uma assíntota horizontal em .

Passo 8

Finalmente, vamos esboçar o gráfico usando todas as informações obtidas:
  • Domínio:
  • Crescente: Em todo o domínio.
  • Concavidade: Para concava para cima e para concava para baixo.
  • Ponto de inflexão: Em .
  • Assíntotas: Vertical em e horizontal em .

Resposta

A função é sempre crescente no seu domínio. Possui um ponto de inflexão em , uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . Não há máximos ou mínimos locais. O gráfico apresenta concavidade para cima quando e para baixo quando .

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Desenhe as seguintes figuras.
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$(a) cost, sent com .
Encontre F(s) pelo Teorema de Translação: