Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores
h)
Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores
h)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que precisamos fazer. Temos a função
. Vamos analisar onde essa função é crescente ou decrescente, encontrar seus máximos e mínimos locais, determinar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão, identificar assíntotas horizontais e verticais, e finalmente, esboçar o gráfico usando todas essas informações. Para isso, vamos precisar derivar a função para estudar seu comportamento.
Passo 2
Vamos começar determinando a primeira derivada de
, que nos ajudará a encontrar onde a função é crescente ou decrescente.
Explicando, usamos a regra da cadeia para derivar
, onde
.
Passo 3
Agora, para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal da primeira derivada
.
Como
é sempre positivo e
também é sempre positivo para
, então
para todo
no domínio da função.
Isso significa que a função
é sempre crescente onde está definida.
Passo 4
Como a função é sempre crescente, não há pontos de máximo ou mínimo locais.
Passo 5
Vamos agora encontrar a segunda derivada para determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Primeiro, calculamos a segunda derivada
:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal da segunda derivada
.
Resolvemos
:
Simplificando:
Então, temos um possível ponto de inflexão em
.
Analisando os sinais:
- Para
, → Concavidade para cima. - Para
, → Concavidade para baixo.
Portanto,
é um ponto de inflexão.
Passo 7
Agora, vamos identificar as assíntotas.
Assíntotas Verticais:
A função está indefinida quando , ou seja, em
. Portanto, temos uma assíntota vertical em
.
A função está indefinida quando
Assíntotas Horizontais:
Analisamos os limites da função quando tende a
e
:
Analisamos os limites da função quando
Então, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 8
Finalmente, vamos esboçar o gráfico usando todas as informações obtidas:
- Domínio:
- Crescente: Em todo o domínio.
- Concavidade: Para
concava para cima e para concava para baixo. - Ponto de inflexão: Em
. - Assíntotas: Vertical em
e horizontal em .
Resposta
A função
é sempre crescente no seu domínio. Possui um ponto de inflexão em
, uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. Não há máximos ou mínimos locais. O gráfico apresenta concavidade para cima quando
e para baixo quando
.
Exercícios relacionados
Desenhe as seguintes figuras.
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Desenhe as seguintes curvas:
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com
.
$(a)
Encontre F(s) pelo
Teorema de Translação: