A função custo marginal
é dada por
quando
é o custo total da produção de
unidades. Se o custo da produção de 5 unidades for
, ache a função custo total.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função chamada custo marginal, que é representada por
. Essa função nos mostra como o custo total muda quando produzimos uma unidade a mais. A gente também sabe que o custo de produzir 5 unidades é de $20. O que precisamos fazer é encontrar a função de custo total, ou seja,
, que nos diz quanto custa produzir
unidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de custo total
pode ser encontrada a partir do custo marginal
fazendo uma integração. A integração é como somar todas as pequenas mudanças no custo quando aumentamos a produção. Então, vamos integrar
:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo. A gente integra termo por termo:
Então, juntando tudo, temos:
Aqui,
é a constante de integração, que precisamos encontrar.
Passo 4
Para descobrir o valor de
, usamos a informação que o custo de produzir 5 unidades é $20, ou seja,
. Vamos substituir
na função que encontramos:
Vamos calcular isso:
Passo 5
A partir da última equação, podemos resolver para
:
Resposta
Portanto, a função de custo total é: