A função custo marginal C^prime é dada por
C^prime(x)=4 x-8
quando C(x) é o custo total da produção de x unidades. Se o custo da produção de 5 unidades for , ache a função custo total.
l Solução Como C^prime(x)=4 x-8 C(x)=integral(4 x-8) d x =2 x^2-8 x+k Como C(5)=20 , obtemos k=10 Logo, C(x)=2 x^2-8 x+10 çã

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função chamada custo marginal, que é representada por . Essa função nos mostra como o custo total muda quando produzimos uma unidade a mais. A gente também sabe que o custo de produzir 5 unidades é de $20. O que precisamos fazer é encontrar a função de custo total, ou seja, , que nos diz quanto custa produzir unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de custo total C(x) = integral (4x - 8) , dx pode ser encontrada a partir do custo marginal fazendo uma integração. A integração é como somar todas as pequenas mudanças no custo quando aumentamos a produção. Então, vamos integrar :

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo. A gente integra termo por termo:
integral 4x , dx = 2x^2
integral -8 , dx = -8x
Então, juntando tudo, temos:
C(x) = 2x^2 - 8x + k
Aqui, é a constante de integração, que precisamos encontrar.

Passo 4

Para descobrir o valor de 20 = 2(5)^2 - 8(5) + k , usamos a informação que o custo de produzir 5 unidades é $20, ou seja, 20 = 2(25) - 40 + k . Vamos substituir 20 = 50 - 40 + k na função que encontramos:
20 = 10 + k
Vamos calcular isso:

Passo 5

A partir da última equação, podemos resolver para k = 20 - 10 :
k = 10

Resposta

Portanto, a função de custo total é:
C(x) = 2x^2 - 8x + 10

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