Desenhe a superfície de nível ou implícita S_k = {(x, y, z) em R^3 | f(x, y, z) = k} correspondente a k = 1
f(x, y, z) = y + x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para desenhar uma superfície de nível, ou seja, encontrar todos os pontos no espaço tridimensional que satisfazem uma certa condição. A função dada é e queremos a superfície quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço 3D e entender o que representa essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a superfície de nível . É o conjunto de todos os pontos que satisfazem . No nosso caso, temos:
Isso significa que queremos todos os pontos onde a soma de e é igual a 1, independente do valor de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação . Essa é uma equação linear em três dimensões. Note que não aparece na equação, o que significa que para qualquer valor de , a condição ainda é satisfeita. Ou seja, a superfície se estende infinitamente ao longo do eixo .

Passo 4

Sabendo que é uma equação linear e que não depende de , concluímos que a superfície é um plano no espaço tridimensional. Mais especificamente, é um plano inclinado que corta os eixos e no ponto onde a soma deles é 1. Isso forma uma superfície infinita que se estende para cima e para baixo no eixo .

Passo 5

Para visualizar, imagine um pedaço de papel infinito no espaço 3D onde, para qualquer ponto nesse papel, a soma das coordenadas e é sempre 1. Esse plano será paralelo ao eixo , já que o valor de pode ser qualquer coisa sem afetar a condição . Se você desenhar isso, verá um plano reto que corta os eixos e em pontos específicos e se estende verticalmente ao longo de .

Resposta

A superfície de nível correspondente a é o plano definido pela equação no espaço tridimensional.

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(a) Qual é o domínio de F ? Podemos dizer que F é uma função contínua de r ?
Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva r = 2(2 - sen(2θ)^(1/2)).
Determine o domínio das seguintes funções vetoriais reais.
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Desenhe as superfícies paramétricas F(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
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