Desenhe as superfícies paramétricas
com
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar uma superfície paramétrica definida por
onde
está dentro do conjunto
. Isso envolve conceitos de geometria paramétrica e como transformamos coordenadas de um plano para o espaço tridimensional. Vamos precisar entender como as variáveis
e
influenciam as coordenadas
,
e
para desenhar a superfície corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para
. Temos
, que é o mesmo que
. Então, a função paramétrica fica:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o domínio
. A condição
descreve um círculo de raio 1 no plano
. Isso significa que
e
variam de forma que estão todos os pontos na borda desse círculo.
Passo 4
Vamos interpretar como cada ponto
desse círculo é mapeado para o espaço tridimensional através da função
. A coordenada
será igual a
,
será igual a
, e
será igual a
.
Passo 5
Para visualizar a superfície, vamos pensar no seguinte: para cada ponto no círculo
, a coordenada
depende apenas de
. Isso significa que para cada valor de
, o valor de
é
, que é sempre não negativo e cria uma forma parabólica.
Portanto, a superfície resultante é uma parábola estendendo-se ao longo do eixo
. Mais especificamente, é uma parábola que abre para cima no eixo
, elevada pela função
, enquanto o
varia livremente dentro do círculo.
Resposta
A superfície paramétrica
definida sobre o círculo
resulta em uma parábola que se estende ao longo do eixo
no espaço tridimensional. Essa superfície é formada por todos os pontos que, ao girar o círculo no plano
e elevar cada ponto conforme
, formam uma parábola aberta para cima no eixo
.
Exercícios relacionados
Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.
Desenhe a superfície de nível ou implícita
correspondente a
Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.
Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.