Desenhe as superfícies paramétricas F(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
F(u, v) = (u, v, u^2 + u^2) com (u, v) em D = {(u, v) | u^2 + v^2 = 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar uma superfície paramétrica definida por onde está dentro do conjunto . Isso envolve conceitos de geometria paramétrica e como transformamos coordenadas de um plano para o espaço tridimensional. Vamos precisar entender como as variáveis e influenciam as coordenadas , e para desenhar a superfície corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para . Temos , que é o mesmo que . Então, a função paramétrica fica:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o domínio . A condição descreve um círculo de raio 1 no plano . Isso significa que e variam de forma que estão todos os pontos na borda desse círculo.

Passo 4

Vamos interpretar como cada ponto desse círculo é mapeado para o espaço tridimensional através da função . A coordenada será igual a , será igual a , e será igual a .

Passo 5

Para visualizar a superfície, vamos pensar no seguinte: para cada ponto no círculo , a coordenada depende apenas de . Isso significa que para cada valor de , o valor de é , que é sempre não negativo e cria uma forma parabólica.
Portanto, a superfície resultante é uma parábola estendendo-se ao longo do eixo . Mais especificamente, é uma parábola que abre para cima no eixo , elevada pela função , enquanto o varia livremente dentro do círculo.

Resposta

A superfície paramétrica definida sobre o círculo resulta em uma parábola que se estende ao longo do eixo no espaço tridimensional. Essa superfície é formada por todos os pontos que, ao girar o círculo no plano e elevar cada ponto conforme , formam uma parábola aberta para cima no eixo .

Exercícios relacionados

Esboce o domínio da função f em cada um dos casos a seguir.
f(x, y) = ln(x^2) + y.
Desenhe a superfície de nível ou implícita S_k = {(x, y, z) em R^3 | f(x, y, z) = k} correspondente a k = 1
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2
Esboce o domínio da função f em cada um dos casos a seguir.
f(x, y) = 1 / raiz(y - raiz(x)).
Esboce o domínio da função f em cada um dos casos a seguir.
f(x, y) = y * raiz(cos(y)).