Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(f) gamma(t) = (1, 1, 1/t), t > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenharmos o traço da curva definida por , onde . Isso envolve trabalhar com curvas paramétricas no espaço tridimensional, então vamos precisar entender como cada componente da função se comporta à medida que t varia.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da curva:
  • A primeira coordenada é sempre 1, ou seja, x = 1.
  • A segunda coordenada também é sempre 1, então .
  • A terceira coordenada é , que varia conforme t muda.

Passo 3

Como x e y são constantes (sempre iguais a 1), isso significa que a curva está fixa no ponto (1, 1) no plano xy. A única coisa que muda é a coordenada z, que depende de t.

Passo 4

Vamos ver como se comporta:
  • Quando t aumenta (fica maior), diminui, aproximando-se de 0.
  • Quando t diminui (fica menor, mas ainda positivo), aumenta, indo para mais infinito.

Passo 5

Então, conforme t varia de 0 a infinito:
  • Para t próximo de 0 (mas positivo), z é muito grande.
  • Para t indo para infinito, z se aproxima de 0.

Passo 6

Isso significa que a curva começa em quando t é quase 0 e desce em direção a conforme t aumenta. Como x e y são fixos em 1, estamos basicamente desenhando uma linha vertical acima do ponto (1, 1) no plano xy.

Resposta

O traço da curva , para , é uma linha vertical que passa pelo ponto (1, 1) no plano xy e se estende para cima indefinidamente ao longo do eixo z. Basicamente, é uma reta que sobe de (quando t tende ao infinito) até z indo para infinito conforme t se aproxima de 0.

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Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(a) gamma(t) = (1, t, 1), t pertence a R
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
d) f(x, y, z) = x^2 + 4y^2 + z^2, c = 1
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
b) lim (x, y) (0,0) x^2-y^21+x^2+y^2
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
f) lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2