Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
f) lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2

Passo 1

Vamos resolver o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar o comportamento da função ao longo de diferentes caminhos até o ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos investigar o limite ao longo do eixo f(x, 0) = x^2 cdot 0^2x^2 cdot 0^2 + (x - 0)^2 = 0x^2 = 0 . Substituindo na função, temos:
Portanto, ao longo de , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo do eixo f(0, y) = 0^2 cdot y^20^2 cdot y^2 + (0 - y)^2 = 0y^2 = 0 . Substituindo na função, temos:
Assim, ao longo de , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos considerar agora a direção onde f(x, x) = x^2 cdot x^2x^2 cdot x^2 + (x - x)^2 = x^4x^4 + 0 = 1 . Substituindo na função, obtemos:
Nesse caso, ao longo de , o limite é 1.

Passo 5

Por fim, vamos verificar o limite ao longo da linha f(x, -x) = x^2 cdot (-x)^2x^2 cdot (-x)^2 + (x - (-x))^2 = x^4x^4 + (2x)^2 = x^4x^4 + 4x^2 = x^2x^2 + 4 . Substituindo na função, temos:
Quando se aproxima de 0, tende a 0.

Resposta

O limite não existe, pois obtemos valores diferentes ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes.

Exercícios relacionados

Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
b) lim (x, y) (0,0) x^2-y^21+x^2+y^2
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(f) gamma(t) = (1, 1, 1/t), t > 0
Descreva o domínio máximo possivel da função z = f(x, y) dada por:
(d) z² + 4 = x² + y², z ≥ 0
Seja f(x, y) = x^2 + 2xy.
(a) Encontre as curvas de nível c da função f, para c=0 e c != 0.