Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente fazer um esboço das superfícies de nível da função
no nível
. Isso envolve geometria analítica, mais especificamente o estudo de superfícies no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como essa função se comporta e qual tipo de superfície ela representa quando igualamos a uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. No nosso caso, queremos os pontos que satisfazem
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação
. Isso se parece muito com a equação de uma esfera, que é
, mas tem um detalhe: o coeficiente de
é 4, não 1. Isso significa que a superfície não é uma esfera perfeita, mas sim alongada ou achatada em uma das direções.
Passo 4
Para identificar melhor a superfície, vamos reescrever a equação dividindo todos os termos por 1:
Isso se parece com a equação de uma elipsoide:
onde
,
, e
são os comprimentos dos semi-eixos nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 5
Comparando as duas equações, vemos que:
-
então -
então -
então
Isso significa que a elipsoide tem um semi-eixo menor na direção
, com comprimento
, e semi-eixos de comprimento 1 nas direções
e
.
Passo 6
Então, para esboçar a superfície de nível
, desenhamos uma elipsoide centrada na origem, mais “achatada” na direção
devido ao semi-eixo menor nessa direção.
Resposta
A superfície de nível
é uma elipsoide centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 1 nas direções
e
, e comprimento
na direção
. Ela é mais achatada ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
j) e
j)
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
c)
c)
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(a)
(a)
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(f)
(f)