Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
d) f(x, y, z) = x^2 + 4y^2 + z^2, c = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente fazer um esboço das superfícies de nível da função no nível . Isso envolve geometria analítica, mais especificamente o estudo de superfícies no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como essa função se comporta e qual tipo de superfície ela representa quando igualamos a uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. No nosso caso, queremos os pontos que satisfazem .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação . Isso se parece muito com a equação de uma esfera, que é , mas tem um detalhe: o coeficiente de é 4, não 1. Isso significa que a superfície não é uma esfera perfeita, mas sim alongada ou achatada em uma das direções.

Passo 4

Para identificar melhor a superfície, vamos reescrever a equação dividindo todos os termos por 1:
Isso se parece com a equação de uma elipsoide:
onde , , e são os comprimentos dos semi-eixos nas direções , e , respectivamente.

Passo 5

Comparando as duas equações, vemos que:
  • então
  • então
  • então
Isso significa que a elipsoide tem um semi-eixo menor na direção , com comprimento , e semi-eixos de comprimento 1 nas direções e .

Passo 6

Então, para esboçar a superfície de nível , desenhamos uma elipsoide centrada na origem, mais “achatada” na direção devido ao semi-eixo menor nessa direção.

Resposta

A superfície de nível é uma elipsoide centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 1 nas direções e , e comprimento na direção . Ela é mais achatada ao longo do eixo .

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