Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
b) lim (x, y) (0,0) x^2-y^21+x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso faz parte do conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar como essa função se comporta à medida que chega perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador e no denominador separadamente. No numerador, temos . Quando tende a , tanto quanto vão para zero. No denominador, temos . Mesmo que e tendam a zero, o denominador nunca será menor que 1, porque e são sempre positivos ou zero.

Passo 3

Agora, vamos avaliar o limite diretamente. Como está indo para , o numerador tende a . O denominador tende a . Então, temos uma situação onde um numerador vai para e o denominador vai para uma constante diferente de zero. Isso sugere que o limite da fração inteira vai para .

Passo 4

Para confirmar, podemos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto). Sabemos que | x^2 - y^21 + x^2 + y^2 | <= x^2 + y^21 = x^2 + y^2 é no máximo , porque . Então:
Como tende a quando tende a , pelo Teorema do Sanduíche, o limite da nossa função também tende a .

Resposta

0

Exercícios relacionados

Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(f) gamma(t) = (1, 1, 1/t), t > 0
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(a) gamma(t) = (1, t, 1), t pertence a R
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
f) lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2
Descreva o domínio máximo possivel da função z = f(x, y) dada por:
(d) z² + 4 = x² + y², z ≥ 0