Mostre que a fronteira da bola aberta é a esfera .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a fronteira da bola aberta é a esfera . Aqui, estamos lidando com conceitos de topologia e geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são uma bola aberta, uma esfera e a definição de fronteira em um espaço métrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma bola aberta. No espaço , a bola aberta centrada em com raio é o conjunto de todos os pontos cuja distância até é menor que :
Passo 3
Agora, a esfera é o conjunto de todos os pontos cuja distância até é exatamente :
Passo 4
A fronteira de um conjunto em um espaço métrico é o conjunto de pontos onde todo entorno contém pontos de e de complementado. Em símbolos, , onde denota o fecho de .
Passo 5
Vamos aplicar essa definição para a bola aberta . Primeiro, o fecho de é a bola fechada , que inclui todos os pontos cuja distância até é menor ou igual a :
Passo 6
O complementar de é o conjunto de todos os pontos com distância maior ou igual a :
E o fecho desse complementar é ele mesmo, já que é fechado:
Passo 7
Então, a fronteira é a interseção desses dois fechamentos:
Passo 8
Essa interseção significa que os pontos devem satisfazer ambas as condições e simultaneamente. A única possibilidade é quando .
Passo 9
Portanto, concluímos que:
Resposta
A fronteira da bola aberta é exatamente a esfera .