Mostre que a fronteira da bola aberta B(x0, r) é a esfera S(x0, r) = {x ∈ R^n ; ||x - x0|| = r}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a fronteira da bola aberta é a esfera . Aqui, estamos lidando com conceitos de topologia e geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são uma bola aberta, uma esfera e a definição de fronteira em um espaço métrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma bola aberta. No espaço , a bola aberta centrada em com raio é o conjunto de todos os pontos cuja distância até é menor que :

Passo 3

Agora, a esfera é o conjunto de todos os pontos cuja distância até é exatamente :

Passo 4

A fronteira de um conjunto em um espaço métrico é o conjunto de pontos onde todo entorno contém pontos de e de complementado. Em símbolos, , onde denota o fecho de .

Passo 5

Vamos aplicar essa definição para a bola aberta . Primeiro, o fecho de é a bola fechada , que inclui todos os pontos cuja distância até é menor ou igual a :

Passo 6

O complementar de é o conjunto de todos os pontos com distância maior ou igual a :
E o fecho desse complementar é ele mesmo, já que é fechado:

Passo 7

Então, a fronteira é a interseção desses dois fechamentos:

Passo 8

Essa interseção significa que os pontos devem satisfazer ambas as condições e simultaneamente. A única possibilidade é quando .

Passo 9

Portanto, concluímos que:

Resposta

A fronteira da bola aberta é exatamente a esfera .

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Determine se a série converge ou diverge.
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Ache d/y d/x se
y = sec(x^3)