Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(h) gamma(t)=(1+sen t, 1+sen t, cos t),-pi2 <= t <= pi2

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: temos que desenhar o traço da curva definida pela função vetorial no intervalo . Isso envolve entender como funções paramétricas operam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função :
Percebemos que e são iguais. Isso já dá uma pista sobre a forma da curva no espaço.

Passo 3

Como , isso significa que a curva está contida no plano onde . No espaço 3D, esse é um plano diagonal que passa pela origem.

Passo 4

Vamos ver como cada componente varia conforme muda de a :
  • varia de a .
  • varia de a .
Isso nos ajuda a entender os limites das coordenadas da curva.

Passo 5

Vamos calcular alguns pontos chave:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Com esses pontos, vemos que a curva começa na origem, sobe até e desce até . A forma geral dessa trajetória lembra uma parábola no plano .

Passo 7

Para desenhar, imagine o plano no espaço 3D. A curva forma um arco simétrico dentro desse plano, começando na origem, alcançando seu ponto mais alto em e voltando à base em .

Resposta

O traço da curva para é uma parábola no plano que começa na origem , sobe até o ponto e desce novamente até , formando um arco simétrico no espaço tridimensional.

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