Quais são os pontos interiores a Q^n, isto é, qual é o conjunto Q^n ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir quais são os pontos interiores do conjunto Q^n no espaço R^n. Para isso, precisamos saber sobre pontos interiores e a topologia do espaço real.

Passo 2

Primeiro, ponto interior: um ponto x está no interior de um conjunto A se existe uma “bolinha” ao redor de x que está completamente dentro de A. Em termos matemáticos, existe um raio tal que a vizinhança está dentro de A.

Passo 3

Agora, vamos pensar em Q^n, que é o conjunto de todos os vetores com coordenadas racionais. Sabemos que os números racionais Q são densos em R, ou seja, entre dois números reais sempre tem um racional. Porém, isso também significa que em qualquer “bolinha” em R^n, além de pontos com coordenadas racionais, existem muitos pontos com coordenadas irracionais.

Passo 4

Como em qualquer vizinhança de um ponto em R^n há pontos que não estão em Q^n (porque têm coordenadas irracionais), não existe nenhuma “bolinha” que esteja completamente dentro de Q^n. Isso quer dizer que nenhum ponto de Q^n é um ponto interior.

Resposta

O conjunto Q^n é vazio, ou seja, .

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