Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
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Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar o domínio máximo de definição dela e fazer um esboço das curvas de nível. O conteúdo aqui envolve funções de duas variáveis, especificamente como identificar onde a função está definida e como representar suas curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre radiciação e condições para que a expressão dentro da raiz seja válida.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero para termos números reais. Então, devemos estabelecer a seguinte condição:
Isso significa que qualquer par de valores
que satisfaça essa desigualdade pertence ao domínio da função.
Passo 3
Agora, vamos representar graficamente essa condição. A inequação
corresponde a todas as regiões no plano
que estão acima ou na linha
. A linha
é uma reta que passa pela origem e tem inclinação
.
Passo 4
Em seguida, vamos esboçar as curvas de nível da função. As curvas de nível são definidas por
, onde
é uma constante. Então, temos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Isso representa uma família de retas paralelas com inclinação
, deslocadas para cima conforme o valor de
aumenta. Cada valor de
gera uma linha diferente, mas todas elas têm a mesma inclinação.
Resposta
O domínio máximo de definição da função
é todos os pares
que satisfazem a condição
. As curvas de nível dessa função são retas da forma
, onde
é uma constante real não negativa.
Exercícios relacionados
Quais são os pontos interiores a
, isto é, qual é o conjunto
?
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(h)
(h)
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
l)
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Mostre que a interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto. Mostre também que a reunião de dois conjuntos fechados é um conjunto fechado.