Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos ( e são reais positivos): .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é desenvolver a expressão usando as propriedades dos logaritmos. Isso significa que vamos quebrar essa expressão em partes menores para facilitar a compreensão. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades de logaritmos que envolvem divisão, multiplicação e potenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos um logaritmo de uma fração, ou seja, , a gente pode separar isso subtraindo os logaritmos: . Então, aplicando isso à nossa expressão:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o primeiro termo, . Sabemos que o logaritmo de um produto, como , é igual à soma dos logaritmos: . Aplicando isso:
Passo 4
O próximo passo é simplificar . Sabemos que é igual a , então podemos reescrever:
E usando a propriedade que , temos:
Passo 5
Voltando à nossa expressão, temos até agora:
Agora, vamos simplificar o segundo termo da expressão original, que é . Usando a propriedade de potência dos logaritmos, que diz que , temos:
Passo 6
Substituindo tudo de volta na expressão inicial, temos:
Passo 7
Finalmente, organizando tudo, a expressão desenvolvida fica: