Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos ( a, b e c são reais positivos): log_2(4*a*b/c^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é desenvolver a expressão log_2(4*a*b/c^2) usando as propriedades dos logaritmos. Isso significa que vamos quebrar essa expressão em partes menores para facilitar a compreensão. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades de logaritmos que envolvem divisão, multiplicação e potenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos um logaritmo de uma fração, ou seja, , a gente pode separar isso subtraindo os logaritmos: . Então, aplicando isso à nossa expressão:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o primeiro termo, . Sabemos que o logaritmo de um produto, como X * Y, é igual à soma dos logaritmos: . Aplicando isso:

Passo 4

O próximo passo é simplificar . Sabemos que é igual a , então podemos reescrever:
E usando a propriedade que , temos:

Passo 5

Voltando à nossa expressão, temos até agora:
Agora, vamos simplificar o segundo termo da expressão original, que é . Usando a propriedade de potência dos logaritmos, que diz que , temos:

Passo 6

Substituindo tudo de volta na expressão inicial, temos:

Passo 7

Finalmente, organizando tudo, a expressão desenvolvida fica:

Resposta

A expressão desenvolvida é:

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