Usando a Definição de continuidade: uma função é contínua em , se, e somente se duas condições se verificam:
6. Determine as constantes e para que a função abaixo seja contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma diferente dependendo se é maior que 1, igual a 1 ou menor que 1. O nosso objetivo aqui é encontrar os valores das constantes e que fazem essa função ser contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição de continuidade, que basicamente diz que a função não pode “pular” em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 1, que, por sua vez, deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, quando . Nessa região, a função é . Então:
Isso significa que, chegando a 1 pela esquerda, a função atinge o valor 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, quando . Nessa região, a função é . Então:
Esse é o valor que a função atinge chegando a 1 pela direita.

Passo 4

Para a função ser contínua em , esses dois limites precisam ser iguais ao valor da função em 1, que é . Ou seja, devemos ter:
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
  1. Da primeira equação, já temos .
  2. Da segunda equação:

Resposta

As constantes que deixam a função contínua em são e .

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