Usando a Definição de continuidade: uma função é contínua em , se, e somente se duas condições se verificam:
6. Determine as constantes e para que a função abaixo seja contínua em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de forma diferente dependendo se é maior que 1, igual a 1 ou menor que 1. O nosso objetivo aqui é encontrar os valores das constantes e que fazem essa função ser contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição de continuidade, que basicamente diz que a função não pode “pular” em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 1, que, por sua vez, deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, quando . Nessa região, a função é . Então:
Isso significa que, chegando a 1 pela esquerda, a função atinge o valor 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, quando . Nessa região, a função é . Então:
Esse é o valor que a função atinge chegando a 1 pela direita.
Passo 4
Para a função ser contínua em , esses dois limites precisam ser iguais ao valor da função em 1, que é . Ou seja, devemos ter:
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações:
Da primeira equação, já temos .
Da segunda equação:
Resposta
As constantes que deixam a função contínua em são e .