Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos ( a, b e c são reais positivos): log(raiz_cubica((a^3 * raiz(b * c))/(raiz_cubica(a * b) * c^2)))^4.

Passo 1

Vamos resolver o logaritmo log(raiz_cubica((a^3 * raiz(b * c))/(raiz_cubica(a * b) * c^2)))^4. A matéria envolvida aqui são as propriedades dos logaritmos, como a potência, a raiz e a divisão dentro do logaritmo. Para resolver, vamos precisar aplicar essas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Temos uma raiz cúbica elevada à quarta potência. Sabemos que . Então podemos reescrever a expressão assim:

Passo 3

Agora, usando a propriedade do logaritmo que diz , podemos trazer o expoente 4/3 para fora do logaritmo:

Passo 4

Vamos simplificar a fração dentro do logaritmo. Sabemos que e . Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar os termos com potências. Usando a propriedade :
  • Para a:
  • Para b:
  • Para c:
Então a expressão simplificada dentro do logaritmo é:

Passo 6

Aplicando a propriedade do logaritmo para produtos, :

Passo 7

Agora, aplicamos novamente a propriedade :

Passo 8

Multiplicamos o 4/3 por cada termo dentro dos parênteses:
Simplificando as frações:
Que reduz para:

Resposta

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