Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo ( e são reais positivos): .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a expressão cuja expansão logarítmica é . Isso tudo tá ligado às propriedades dos logaritmos. Pra resolver, vamos precisar usar as regras de multiplicação, divisão e de potência dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos um coeficiente multiplicando o logaritmo, como , isso pode ser reescrito como o logaritmo do número elevado a esse coeficiente. Ou seja:

Passo 3

Agora, aplicamos isso pra todos os termos. Então:

Passo 4

Em seguida, usamos a propriedade que a soma de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo do produto dos argumentos. Então:

Passo 5

Depois, subtraímos o último termo, que segundo a propriedade dos logaritmos, corresponde à divisão. Assim:

Resposta

A expressão cuja expansão logarítmica é é:

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Calcule os limites no infinito
§
Dados e , calcule .