Desenvolva uma expressão para a variação de pressão num líquido que apresenta peso específico crescente com a profundidade. Utilize a relação
, onde
é uma constante,
é a profundidade e
é o peso específico na superfície livre do líquido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para desenvolver uma expressão para como a pressão varia em um líquido onde o peso específico aumenta conforme a profundidade. A matéria aqui é hidrostática, que estuda como a pressão funciona em fluidos em repouso. Vamos precisar entender como a pressão está relacionada ao peso específico do líquido e à profundidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um líquido aumenta com a profundidade devido ao peso do líquido acima do ponto considerado. A relação básica que usamos para isso é:
Aqui,
representa a variação da pressão em relação à profundidade
, e
é o peso específico do líquido.
Passo 3
No nosso caso, o peso específico
não é constante. Ele aumenta com a profundidade segundo a relação dada:
Onde:
-
é uma constante, -
é a profundidade, -
é o peso específico na superfície livre do líquido.
Passo 4
Vamos substituir essa expressão de
na equação da pressão:
Agora, queremos encontrar a expressão para a pressão
em função da profundidade
. Para isso, vamos integrar ambos os lados dessa equação.
Passo 5
Integrando a equação:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calculando as integrais:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, precisamos determinar a constante
. Normalmente, consideramos que a pressão na superfície livre do líquido (onde
) é a pressão atmosférica
. Então:
Isso implica que
.
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão da pressão, temos:
Passo 9
Se considerarmos que estamos calculando a pressão relativa ao ambiente externo (ou seja,
), a expressão final simplifica para:
Resposta
A variação da pressão com a profundidade é dada por: