Desenvolva uma expressão para a variação de pressão num líquido que apresenta peso específico crescente com a profundidade. Utilize a relação gamma=K h+gamma0, onde K é uma constante, h é a profundidade e gamma0 é o peso específico na superfície livre do líquido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para desenvolver uma expressão para como a pressão varia em um líquido onde o peso específico aumenta conforme a profundidade. A matéria aqui é hidrostática, que estuda como a pressão funciona em fluidos em repouso. Vamos precisar entender como a pressão está relacionada ao peso específico do líquido e à profundidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um líquido aumenta com a profundidade devido ao peso do líquido acima do ponto considerado. A relação básica que usamos para isso é:
dpdh = gamma
Aqui, representa a variação da pressão em relação à profundidade , e é o peso específico do líquido.

Passo 3

No nosso caso, o peso específico gamma = K h + gamma0 não é constante. Ele aumenta com a profundidade segundo a relação dada:
Onde:
  • é uma constante,
  • é a profundidade,
  • é o peso específico na superfície livre do líquido.

Passo 4

Vamos substituir essa expressão de dpdh = K h + gamma0 na equação da pressão:
Agora, queremos encontrar a expressão para a pressão em função da profundidade . Para isso, vamos integrar ambos os lados dessa equação.

Passo 5

Integrando a equação:
integral dpdh , dh = integral (K h + gamma0) , dh
Isso simplifica para:
p = integral K h , dh + integral gamma0 , dh + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Calculando as integrais:
  1. p = 12 K h^2 + gamma0 h + C
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, precisamos determinar a constante p(0) = gamma0 cdot 0 + 12 K cdot 0^2 + C = p0 . Normalmente, consideramos que a pressão na superfície livre do líquido (onde ) é a pressão atmosférica . Então:
Isso implica que .

Passo 8

Substituindo p = 12 K h^2 + gamma0 h + p0 de volta na expressão da pressão, temos:

Passo 9

Se considerarmos que estamos calculando a pressão relativa ao ambiente externo (ou seja, p = gamma0 h + 12 K h^2 ), a expressão final simplifica para:

Resposta

A variação da pressão com a profundidade é dada por:
p = gamma0 h + 12 K h^2

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