A distribuição de velocidade para o escoamento em duas placas fixas paralelas é dada por
Onde h é a distância separando as placas e é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( ) com h e : Obtenha a tensão de cisalhamento na placa superior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o escoamento de água entre duas placas paralelas fixas. O que precisamos saber para resolver isso é sobre a distribuição de velocidade no fluido e como calcular a tensão de cisalhamento, que é basicamente a força que o fluido exerce nas placas devido à sua viscosidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dada para a distribuição de velocidade:
Aqui, é a velocidade do fluido em uma posição entre as placas, é a velocidade máxima no centro, e é a distância entre as placas. A origem está no meio entre as placas.
Passo 3
Para encontrar a tensão de cisalhamento na placa superior (), usamos a relação:
Onde:
é a viscosidade do fluido.
é a derivada da velocidade em relação a , ou seja, como a velocidade muda à medida que nos movemos perpendicularmente às placas.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função em relação a . Primeiro, reescrevemos a equação de velocidade:
Derivando em relação a :
Passo 5
Agora, queremos a derivada na placa superior. Como a origem está no meio, a placa superior está em . Substituindo:
Passo 6
Finalmente, calculamos a tensão de cisalhamento usando o valor da derivada:
O sinal negativo indica a direção da força, mas como estamos interessados apenas no valor da tensão, podemos considerar o módulo.
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é:
Então, a tensão de cisalhamento na placa superior é de 1,368 N/m².