A distribuição de velocidade para o escoamento em duas placas fixas paralelas é dada por
u(r)umax =[1-(2 yh)^2]
Onde h é a distância separando as placas e umax é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( mu=0,00114 N s / m^2 ) com h =0,5 mm e umax =0,3 m / s : Obtenha a tensão de cisalhamento na placa superior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o escoamento de água entre duas placas paralelas fixas. O que precisamos saber para resolver isso é sobre a distribuição de velocidade no fluido e como calcular a tensão de cisalhamento, que é basicamente a força que o fluido exerce nas placas devido à sua viscosidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dada para a distribuição de velocidade:
u(y)umax = [1 - (2yh)^2]
Aqui, é a velocidade do fluido em uma posição entre as placas, é a velocidade máxima no centro, e é a distância entre as placas. A origem está no meio entre as placas.

Passo 3

Para encontrar a tensão de cisalhamento na placa superior ( tau = mu dudy ), usamos a relação:
Onde:
  • é a viscosidade do fluido.
  • é a derivada da velocidade em relação a , ou seja, como a velocidade muda à medida que nos movemos perpendicularmente às placas.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função u(y) = umax [1 - (2yh)^2] em relação a dudy = umax cdot ddy [1 - (2yh)^2] = umax cdot [-2 cdot 4yh^2] = -4umaxyh^2 . Primeiro, reescrevemos a equação de velocidade:
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, queremos a derivada na placa superior. Como a origem está no meio, a placa superior está em dudy|y = h2 = -4umax(h2)h^2 = -2umaxh . Substituindo:

Passo 6

Finalmente, calculamos a tensão de cisalhamento usando o valor da derivada:
tau = mu cdot (-2umaxh) = -2mu umaxh
O sinal negativo indica a direção da força, mas como estamos interessados apenas no valor da tensão, podemos considerar o módulo.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é:
tau = 2 mu umaxh = 2 times 0,00114 times 0,30,0005 = 0,0006840,0005 = 1,368 N/m^2
Então, a tensão de cisalhamento na placa superior é de 1,368 N/m².

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