u(r)umax =[1-(2 yh)^2]
Onde h é a distância separando as placas e umax é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( mu=0,00114 N s / m^2 ) com h =0,5 mm e umax =0,3 m / s :
a) Obtenha a tensão de cisalhamento na placa superior.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma equação que relaciona a velocidade do fluido com a velocidade máxima dentro de um fluxo entre duas placas paralelas. A matéria aqui é sobre fluido newtoniano e escoamento laminar. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a tensão de cisalhamento na placa superior usando a viscosidade do fluido e a derivada da velocidade em relação à posição.

Passo 2

Primeiro, a equação que nos foi dada é:
u(r)umax = [1 - (2yh)^2]
Aqui, é a distância entre as placas, é a posição vertical entre as placas, e é a velocidade máxima no centro do fluxo.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a tensão de cisalhamento na placa superior. A tensão de cisalhamento tau = mu dudy em um fluido viscoso é dada por:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • é a derivada da velocidade em relação à posição .

Passo 4

Vamos primeiro encontrar a expressão para u(y) = umax [1 - (2yh)^2] . Reorganizando a equação dada:
dudy = umax cdot ddy [1 - (2yh)^2] = umax cdot (-2 cdot 4yh^2) = -4umax yh^2
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 5

A tensão de cisalhamento na placa superior ocorre onde dudyg|y=h2 = -4umax cdot h2h^2 = -2umaxh . Vamos substituir esse valor na derivada:

Passo 6

Agora, aplicamos essa derivada na fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu cdot (-2umaxh) = -2mu umaxh
Como a tensão de cisalhamento é uma magnitude, podemos considerar o valor absoluto:
tau = 2mu umaxh

Passo 7

Vamos substituir os valores fornecidos:
  • tau = 2 times 0,00114 times 0,30,0005 = 0,0006840,0005 = 1,368 , N/m^2
Substituindo na equação:

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de aproximadamente .

Exercícios relacionados