Desenvolva uma expressão para a variação de pressão de um líquido em que o peso específico aumenta com a profundidade ( h ) na seguinte proporção: em que К é uma constante e é o peso específico na superfície.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenvolver uma expressão que mostra como a pressão de um líquido varia com a profundidade . A matéria envolvida aqui é a hidrostática, que estuda como a pressão atua nos fluidos em repouso. Para resolver, vamos precisar entender como a peso específico do líquido varia com a profundidade e como calcular a pressão a partir disso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão dada para o peso específico:
Aqui, é o peso específico no fundo, é uma constante que indica como o peso específico aumenta com a profundidade, e é o peso específico na superfície do líquido.

Passo 3

A pressão em um ponto de um líquido é calculada integrando o peso específico desde a superfície até a profundidade . A fórmula básica para a pressão em um líquido é:
Isso significa que vamos somar todas as pequenas contribuições de pressão desde a superfície até a profundidade desejada.

Passo 4

Substituindo a expressão de na integral, temos:
Agora, vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
Assim, facilita calcular cada parte individualmente.

Passo 6

Calculando a primeira integral:

Passo 7

Agora, calculando a segunda integral:

Passo 8

Somando as duas partes calculadas:
Essa é a expressão final que relaciona a pressão com a profundidade no líquido onde o peso específico varia conforme dado.

Resposta

A variação da pressão com a profundidade é dada por:

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