Se V é uma velocidade e l um comprimento e alpha uma propriedade do fluído que apresenta dimensões L^2 T^- 1, determine quais das combinações a seguir são adimensionais:
(a) Vla.
(b) Vl / alpha
© V^2 alpha.
(d) V/la

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que verificar quais das combinações dadas são adimensionais, ou seja, não têm unidades associadas. A matéria que estamos lidando aqui é Análise Dimensional, que ajuda a verificar se equações físicas fazem sentido verificando as unidades envolvidas. Vamos precisar saber as dimensões de cada grandeza:
  • Velocidade, V: tem dimensão de comprimento por tempo, representado como LT^-1.
  • Comprimento, l: tem dimensão de comprimento, representado como L.
  • Propriedade do fluído, alpha: tem dimensão L^2T^-1.
Agora, vamos analisar cada combinação para ver se elas são adimensionais.

Passo 2

Vamos começar analisando a opção (a) Vlalpha.
Primeiro, substituímos cada grandeza pelas suas dimensões:
V times l times alpha = (LT^-1) times L times (L^2T^-1)
Agora, multiplicamos as dimensões:
L times T^-1 times L times L^2 times T^-1 = L^4T^-2
Como essa expressão ainda tem unidades de comprimento e tempo, ela não é adimensional.

Passo 3

Vamos para a opção (b) Vlalpha.
Substituindo pelas dimensões:
V times lalpha = (LT^-1) times LL^2T^-1
Multiplicamos as dimensões no numerador:
L^2T^-1L^2T^-1 = 1
Aqui, todas as unidades se cancelam, resultando em uma quantidade adimensional.

Passo 4

Agora, vamos analisar a opção © V^2alpha.
Substituindo pelas dimensões:
V^2 times alpha = (LT^-1)^2 times L^2T^-1
Calculando as potências:
L^2T^-2 times L^2T^-1 = L^4T^-3
Como temos unidades de comprimento e tempo ainda presentes, essa combinação não é adimensional.

Passo 5

Finalmente, vamos para a opção (d) Vlalpha.
Substituindo pelas dimensões:
Vl times alpha = LT^-1L times L^2T^-1
Multiplicando as dimensões no denominador:
LT^-1L^3T^-1 = 1L^2
Aqui, ainda sobra uma unidade de comprimento ao quadrado no denominador, então essa combinação não é adimensional.

Resposta

A única combinação adimensional é a opção (b) Vlalpha.

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