(a) Desenvolva expressões para a densidade linear para as direções [110] e [111] em estruturas cristalinas CCC em termos do raio atômico R. Desenhe os vetores.
(b) Calcule e compare os valores da densidade linear (em átomos/cm) para essas mesmas duas direções no ferro, cujo raio atômico é 0,124 nm.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta tem duas partes e está relacionada à densidade linear em estruturas cristalinas tipo CCC (Cúbica de Face Centrada). Precisamos entender como calcular a densidade linear nas direções [110] e [111] usando o raio atômico $ R $. Além disso, vamos aplicar isso para o ferro com um raio atômico específico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é densidade linear. Basicamente, é o número de átomos por unidade de comprimento ao longo de uma direção específica no cristal. Para calcular isso, precisamos saber quantos átomos estão alinhados nessa direção e qual o comprimento dessa linha.

Passo 3

Vamos começar com a direção [110] na estrutura CCC. Na CCC, cada aresta do cubo tem átomos nos cantos e no centro de cada face. Ao olhar para a direção [110], estamos olhando através da diagonal de uma face do cubo.

Passo 4

Para a direção [110], a distância entre dois átomos adjacentes pode ser calculada. Sabemos que na direção [110], há um átomo no centro da face e dois átomos nos cantos. A distância efetiva entre os centros dos átomos nessa direção será a soma dos raios de dois átomos, já que eles estão tocando.

Passo 5

Agora, vamos para a direção [111]. Nesta direção, estamos olhando pela diagonal do corpo do cubo, passando por três átomos: um canto, o centro do cubo e o outro canto. A distância total nessa direção será a soma de três raios atômicos, já que três átomos estão alinhados.

Passo 6

Com essas informações, podemos expressar a densidade linear $ \rho $ para cada direção:
  • Para [110]:
    rho úá
  • Para [111]:
    rho[110] = Número de átomosComprimento total = 12R + 2R = 14R úá

Passo 7

Agora que temos as expressões gerais, vamos para a parte (b) e calcular os valores numéricos para o ferro, cujo raio atômico $ R = 0,124 $ nm.
Primeiro, vamos converter o raio de nanômetros para centímetros:
R = 0,124

Passo 8

Agora, aplicamos os valores nas expressões de densidade linear:
  • Para [110]:
    rho[110] = 14 times 1,24 times 10^-8 , cm approx 14,96 times 10^-8 approx 2,016 times 10^7 , átomos/cm á
  • Para [111]:
    rho[111] = 16 times 1,24 times 10^-8 , cm approx 17,44 times 10^-8 approx 1,344 times 10^7 , átomos/cm á

Resposta

A densidade linear no ferro é aproximadamente $ 2,016 \times 10^{7} $ átomos/cm na direção [110] e $ 1,344 \times 10^{7} $ átomos/cm na direção [111]. Portanto, a direção [110] tem uma densidade linear maior que a direção [111] no ferro.

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