Desenvolva expressões para a densidade linear em termos do raio atômico R para as direções [100] e [111] na estrutura CFC. Com as expressões desenvolvidas calcule e compare os valores da densidade linear para essas mesmas duas direções no cobre (Cu).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para desenvolver expressões para a densidade linear em termos do raio atômico nas direções [100] e [111] na estrutura CFC (Cúbica de Face Centrada). Além disso, vamos usar essas expressões para calcular e comparar os valores da densidade linear nessas duas direções no cobre ( ). Basicamente, estamos trabalhando com cristalografia e estruturas cristalinas, focando na densidade de átomos por unidade de comprimento em direções específicas da estrutura CFC.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade linear. Densidade linear ( LD = Número de átomos por linhaComprimento da linha ) é a quantidade de átomos por unidade de comprimento ao longo de uma determinada direção cristalina. É calculada pela fórmula:
úá
Para a estrutura CFC, precisamos identificar quantos átomos estão alinhados ao longo das direções [100] e [111] e qual é o comprimento dessa direção em termos do raio atômico .

Passo 3

Vamos começar com a direção [100] na estrutura CFC. Nessa direção, os átomos estão alinhados ao longo dos eixos coordenados. Na estrutura CFC, há um átomo em cada canto do cubo e um átomo no centro de cada face.
Ao olhar para a direção [100], vemos que existem dois átomos de canto compartilhados por quatro cubos adjacentes. Portanto, para calcular a densidade linear:
  • Número de átomos por linha: 1 átomo (o átomo de canto é compartilhado entre quatro cubos, então contribui com LD[100] = 12R por cubo, mas como estamos considerando a linha inteira, temos 1 átomo efetivo).
  • Comprimento da linha: , onde é a aresta do cubo. Em termos do raio atômico , para a direção [100] em CFC, .
Então, a densidade linear na direção [100] é:

Passo 4

Agora, vamos analisar a direção [111] na estrutura CFC. Essa direção atravessa o cubo de um canto ao outro, passando pelo átomo central da célula. Os átomos ao longo dessa direção incluem os átomos de canto e o átomo central.
  • Número de átomos por linha: 2 átomos (um átomo de canto e o átomo central).
  • Comprimento da linha: A distância entre os cantos na direção [111] em termos de d = raiz3a pode ser encontrada usando a geometria do cubo. A distância d = raiz3 times 2R = 2raiz3R é:
LD[111] = 22raiz3R = 1raiz3R
Sabemos que para a estrutura CFC, , então:
Portanto, a densidade linear na direção [111] é:

Passo 5

Agora que temos as expressões para as densidades lineares nas direções [100] e [111], vamos calcular esses valores para o cobre ( LD[100] = 12R = 12 times 1.28 approx 0.3906 , Å^-1 ). Primeiro, precisamos saber o raio atômico do cobre. O raio atômico do cobre é aproximadamente LD[111] = 1raiz3R = 1raiz3 times 1.28 approx 0.4511 , Å^-1 Å (angstroms).
Vamos calcular cada densidade linear:
  • Densidade linear [100]:
Å
  • Densidade linear [111]:
Å

Resposta

A densidade linear no cobre é aproximadamente Å na direção [100] e Å na direção [111]. Portanto, a densidade linear é maior na direção [111] do que na direção [100] na estrutura CFC do cobre.

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