(a) Desenvolva expressões para densidade planar em termos do raio atômico
para os planos (100) e (111) na estrutura CFC.
(b) Calcule e compare os valores da densidade planar para esses mesmos dois planos no níquel
(b) Calcule e compare os valores da densidade planar para esses mesmos dois planos no níquel
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenvolver expressões para a densidade planar em termos do raio atômico
para os planos (100) e (111) na estrutura Cúbica de Face Centrada (CFC). Além disso, precisamos calcular e comparar esses valores para o níquel, cujo raio atômico é
nm. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é densidade planar, conhecer a estrutura CFC e saber como identificar os planos cristalinos (100) e (111).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade planar. A densidade planar é a quantidade de átomos presentes em uma unidade de área de um determinado plano cristalino. Ou seja, ela nos diz quantos átomos estão “empilhados” em uma face específica da estrutura cristalina.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como é a estrutura Cúbica de Face Centrada (CFC). Nessa estrutura, cada célula unitária cúbica tem átomos nos cantos e um átomo no centro de cada face do cubo. Os planos (100) e (111) são diferentes orientações dentro dessa estrutura que têm diferentes densidades de empacotamento de átomos.
Passo 4
Vamos começar desenvolvendo a expressão para a densidade planar no plano (100). No plano (100) da CFC, os átomos estão localizados apenas nos centros das faces e nos cantos do cubo. Cada átomo nos cantos é compartilhado por quatro células adjacentes, então cada átomo no canto contribui com
para a célula atual. Já o átomo no centro da face pertence completamente à célula atual.
Passo 5
Calculando a densidade planar para o plano (100):
- Número total de átomos no plano (100):
átomos. - Área do plano (100):
, onde é o parâmetro de rede. Para a CFC, a relação entre e o raio atômico é . - Então, a densidade planar
é .
Passo 6
Agora, vamos para o plano (111). No plano (111) da CFC, os átomos estão mais densamente empacotados. Cada átomo nos vértices do triângulo basal é compartilhado por três células adjacentes, então cada átomo no vértice contribui com
para a célula atual. Além disso, há um átomo exclusivo no centro do triângulo.
Passo 7
Calculando a densidade planar para o plano (111):
- Número total de átomos no plano (111):
átomos. - Área do plano (111):
. - Usando
, a área fica . - Então, a densidade planar
é .
Passo 8
Agora temos as expressões para as densidades planas:
- Para o plano (100):
- Para o plano (111):
Passo 9
Vamos agora calcular os valores numéricos para o níquel, onde
nm.
- Para o plano (100):
- Para o plano (111):
Passo 10
Comparando os valores obtidos:
- Densidade planar do plano (100): 16 átomos/nm²
- Densidade planar do plano (111): aproximadamente 18,52 átomos/nm²
Isso mostra que o plano (111) tem uma densidade planar maior que o plano (100) na estrutura CFC do níquel.
Resposta
A densidade planar para o plano (100) na estrutura CFC é
e para o plano (111) é
. Calculando para o níquel (
nm), obtemos
átomos/nm² e
átomos/nm². Assim, o plano (111) apresenta uma densidade planar maior que o plano (100) no níquel.