3(2,0) - Desenvolva f: [0, pi) -> R, definida por f(x) = x^2, em
(b) uma série de cossenos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenvolver a função definida no intervalo em uma série de cossenos. Isso está relacionado ao estudo de séries de Fourier, especificamente a série de Fourier cosseno, que é usada para representar funções pares (simétricas) em termos de funções cosseno.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma série de Fourier cosseno para uma função no intervalo tem a seguinte forma:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

No nosso caso, , então a série fica:
Agora, precisamos calcular os coeficientes e . As fórmulas para esses coeficientes são:

Passo 4

Vamos calcular primeiro:
Integrando:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes duas vezes. Vamos fazer passo a passo.
Primeira integração por partes:
Escolha:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Simplificando:
Segunda integração por partes:
Agora, resolvemos .
Escolha:
Aplicando novamente:
Integrando:
Voltando à primeira parte:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Agora, avaliamos de a :
Substituindo e :
Para :
Como e :
Para :
Portanto,

Resposta

A série de cossenos que representa a função no intervalo é:

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