- Desenvolva
, definida por
, em
(b) uma série de cossenos.
(b) uma série de cossenos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenvolver a função
definida no intervalo
em uma série de cossenos. Isso está relacionado ao estudo de séries de Fourier, especificamente a série de Fourier cosseno, que é usada para representar funções pares (simétricas) em termos de funções cosseno.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma série de Fourier cosseno para uma função
no intervalo
tem a seguinte forma:
Aqui,
é o termo constante e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
No nosso caso,
, então a série fica:
Agora, precisamos calcular os coeficientes
e
. As fórmulas para esses coeficientes são:
Passo 4
Vamos calcular
primeiro:
Integrando:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes duas vezes. Vamos fazer passo a passo.
Primeira integração por partes:
Escolha:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Simplificando:
Segunda integração por partes:
Agora, resolvemos
.
Escolha:
Aplicando novamente:
Integrando:
Voltando à primeira parte:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Agora, avaliamos de
a
:
Substituindo
e
:
Para
:
Como
e
:
Para
:
Portanto,
Resposta
A série de cossenos que representa a função
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
(a) uma série de senos;
(b)
e se as extremidades
e
são isoladas. Considere, na equação do calor,
.
5 (2,0) - Determine, justificando, a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as seguintes condições de contorno