- Desenvolva , definida por , em
(a) uma série de senos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenvolver a função definida no intervalo em uma série de senos. Isso significa que vamos encontrar uma representação dessa função como uma soma infinita de termos do tipo . Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de Fourier senoidal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de senos. Em uma série de Fourier, uma função periódica pode ser expressa como a soma de funções seno e cosseno. Porém, quando a função é ímpar ou definida em um intervalo simétrico em relação à origem, é possível representá-la apenas com termos de seno. No nosso caso, como a função é par, mas estamos trabalhando no intervalo , vamos estender essa função de maneira apropriada para usar apenas senos.

Passo 3

A série de Fourier senoidal para a função no intervalo é dada por:
Aqui, os coeficientes são calculados pela fórmula:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes para a nossa função :
Para resolver essa integral, usaremos o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 5

Aplicando integração por partes:
Escolhemos e .
Então, derivando e integrando:
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo:

Passo 6

Precisamos agora calcular . Novamente, aplicamos integração por partes:
Escolhemos e .
Então:
Aplicando integração por partes:

Passo 7

Voltando à expressão original:
Agora, avaliamos de a :
Simplificando:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão para :
Podemos fatorar :
Essa expressão nos dá os coeficientes para cada termo da série de senos.

Resposta

Portanto, a série de senos que desenvolve a função no intervalo é:

Exercícios relacionados

- Utilize transformada de Laplace para determinar a solução de cada problema, dado a seguir.
(b)
Seja uma função com derivadas parciais contínuas até a segunda ordem. Considerando a função , dada por , com e , demonstre que
Sugestão: Use a regra da cadeia.
- Desenvolva , definida por , em
(b) uma série de cossenos.
- Determine, justificando, a temperatura uma haste de comprimento 2 , se a temperatura inicial é
e se as extremidades e são isoladas. Considere, na equação do calor, .