- Desenvolva
, definida por
, em
(a) uma série de senos;
(a) uma série de senos;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenvolver a função
definida no intervalo
em uma série de senos. Isso significa que vamos encontrar uma representação dessa função como uma soma infinita de termos do tipo
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de Fourier senoidal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série de senos. Em uma série de Fourier, uma função periódica pode ser expressa como a soma de funções seno e cosseno. Porém, quando a função é ímpar ou definida em um intervalo simétrico em relação à origem, é possível representá-la apenas com termos de seno. No nosso caso, como a função
é par, mas estamos trabalhando no intervalo
, vamos estender essa função de maneira apropriada para usar apenas senos.
Passo 3
A série de Fourier senoidal para a função
no intervalo
é dada por:
Aqui, os coeficientes
são calculados pela fórmula:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
para a nossa função
:
Para resolver essa integral, usaremos o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 5
Aplicando integração por partes:
Escolhemos
e
.
Então, derivando e integrando:
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Passo 6
Precisamos agora calcular
. Novamente, aplicamos integração por partes:
Escolhemos
e
.
Então:
Aplicando integração por partes:
Passo 7
Voltando à expressão original:
Agora, avaliamos de
a
:
Simplificando:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão para
:
Podemos fatorar
:
Essa expressão nos dá os coeficientes
para cada termo da série de senos.
Resposta
Portanto, a série de senos que desenvolve a função
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
(b)
Seja
uma função com derivadas parciais contínuas até a segunda ordem. Considerando a função
, dada por
, com
e
, demonstre que
Sugestão: Use a regra da cadeia.
(b) uma série de cossenos.
e se as extremidades
e
são isoladas. Considere, na equação do calor,
.