Desenvolva , para em uma
(b) série de senos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função definida no intervalo e queremos desenvolvê-la em uma série de senos, que é uma forma específica de representação de funções usando apenas funções senoidais. Para isso, vamos precisar usar a Série de Fourier de senos, que nos ajuda a expressar funções em termos de uma soma infinita de senos com diferentes frequências e amplitudes.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é a forma geral de uma série de senos. Para uma função definida no intervalo a , a série de senos é dada por:
No nosso caso, , então a série fica:
Mas, para simplificar, podemos ajustar a série para usar diretamente, ajustando os coeficientes adequadamente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os coeficientes da série. A fórmula para calcular em uma série de senos é:
Substituindo :

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Primeiro, resolvemos . Para isso, usamos integração por partes, onde:
  • =>
  • =>
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Resolvendo a segunda integral:
Portanto:
Aplicando os limites de a :
Ao substituir, constatamos que os termos envolvendo senos desaparecem devido aos múltiplos de , e ficamos com:

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral :
Aplicando os limites:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes:
Simplificando:
Sabendo que , temos:

Resposta

Portanto, a série de senos que desenvolve a função no intervalo é:

Exercícios relacionados

Desenvolva , para em uma
© série de Fourier de.
Seja periódica, com período igual a , definida por , para . Determine a série de Fourier de e a denote por . A seguir, construa o gráfico de . Justifique.
Determine, justificando, os autovalores e as autofunções do problema de contorno
, considere