Desenvolva
, para
em uma
(b) série de senos;
(b) série de senos;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
definida no intervalo
e queremos desenvolvê-la em uma série de senos, que é uma forma específica de representação de funções usando apenas funções senoidais. Para isso, vamos precisar usar a Série de Fourier de senos, que nos ajuda a expressar funções em termos de uma soma infinita de senos com diferentes frequências e amplitudes.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como é a forma geral de uma série de senos. Para uma função
definida no intervalo
a
, a série de senos é dada por:
No nosso caso,
, então a série fica:
Mas, para simplificar, podemos ajustar a série para usar
diretamente, ajustando os coeficientes adequadamente.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
da série. A fórmula para calcular
em uma série de senos é:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Primeiro, resolvemos
. Para isso, usamos integração por partes, onde:
-
=> -
=>
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Resolvendo a segunda integral:
Portanto:
Aplicando os limites de
a
:
Ao substituir, constatamos que os termos envolvendo senos desaparecem devido aos múltiplos de
, e ficamos com:
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda integral
:
Aplicando os limites:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes:
Simplificando:
Sabendo que
, temos:
Resposta
Portanto, a série de senos que desenvolve a função
no intervalo
é:
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Desenvolva
, para
em uma
© série de Fourier de.
© série de Fourier de.
Seja
periódica, com período igual a
, definida por
, para
. Determine a série de Fourier de
e a denote por
. A seguir, construa o gráfico de
. Justifique.
Determine, justificando, os autovalores e as autofunções do problema de contorno