Seja periódica, com período igual a , definida por , para . Determine a série de Fourier de e a denote por . A seguir, construa o gráfico de . Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função periódica com período igual a , definida por no intervalo . Precisamos determinar a série de Fourier dessa função, que vamos chamar de , e depois construir o gráfico dessa série. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de séries de Fourier e dos coeficientes de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período pode ser escrita como:
onde os coeficientes , e são dados por:
Vamos calcular cada um desses coeficientes para a nossa função .

Passo 3

Começando com :
Esse é o valor médio da função no intervalo considerado.

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração por partes ou reconhecer que ela corresponde à parte real da integral de , que resulta em:
Isso nos dá os coeficientes dos termos de cosseno na série de Fourier.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular :
De forma semelhante ao , essa integral corresponde à parte imaginária da integral de , resultando em:
Aqui, observamos que depende apenas de porque os termos com cancelam devido ao seno de múltiplos de serem zero.

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier completa para :
Essa expressão representa a função expandida em uma série de cossenos e senos.

Passo 7

Para construir o gráfico de , notar que a série de Fourier aproxima a função original ao adicionar mais termos da série. No entanto, como estamos lidando com uma série infinita, na prática, usamos uma soma finita de termos para obter uma aproximação visual da função. Ao somar os primeiros termos, veremos que a série começa a se aproximar da curva exponencial dentro do intervalo e repete esse padrão periodicamente.

Resposta

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Desenvolva , para em uma
(a) série de cossenos;
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de no intervalo dado.
Desenvolva , para em uma
© série de Fourier de.
Desenvolva , para em uma
(b) série de senos;