Desenvolva , para em uma
© série de Fourier de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenvolver a função no intervalo em uma série de Fourier. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de coeficientes de Fourier e como calculá-los.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o período da nossa função. Como o intervalo dado é de a , o período é . Isso é importante porque a série de Fourier depende do período da função.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Substituindo :
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para os cossenos. A fórmula é:
Substituindo :
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Usando integração por partes para a primeira integral e sabendo que a segunda integral de sobre um período completo é zero, obtemos:
Porque para qualquer inteiro .

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para os senos. A fórmula é:
Substituindo :
Dividindo a integral:
A segunda integral de sobre um período completo também é zero. Usando integração por partes para a primeira integral:
Avaliando de a :
Como :

Resposta

Então, juntando tudo, a série de Fourier da função no intervalo é:
Simplificando:

Exercícios relacionados

Seja periódica, com período igual a , definida por , para . Determine a série de Fourier de e a denote por . A seguir, construa o gráfico de . Justifique.
Desenvolva , para em uma
(a) série de cossenos;
Desenvolva , para em uma
(b) série de senos;
Determine, justificando, os autovalores e as autofunções do problema de contorno