Desenvolva
, para
em uma
© série de Fourier de.
© série de Fourier de.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenvolver a função
no intervalo
em uma série de Fourier. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de coeficientes de Fourier e como calculá-los.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o período da nossa função. Como o intervalo dado é de
a
, o período
é
. Isso é importante porque a série de Fourier depende do período da função.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para os cossenos. A fórmula é:
Substituindo
:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Usando integração por partes para a primeira integral e sabendo que a segunda integral de
sobre um período completo é zero, obtemos:
Porque
para qualquer inteiro
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para os senos. A fórmula é:
Substituindo
:
Dividindo a integral:
A segunda integral de
sobre um período completo também é zero. Usando integração por partes para a primeira integral:
Avaliando de
a
:
Como
:
Resposta
Então, juntando tudo, a série de Fourier da função
no intervalo
é:
Simplificando:
Exercícios relacionados
Seja
periódica, com período igual a
, definida por
, para
. Determine a série de Fourier de
e a denote por
. A seguir, construa o gráfico de
. Justifique.
Desenvolva
, para
em uma
(a) série de cossenos;
(a) série de cossenos;
Desenvolva
, para
em uma
(b) série de senos;
(b) série de senos;
Determine, justificando, os autovalores e as autofunções do problema de contorno