Desenvolva f(x) = 2 x + 1, para 0 < x < 2 pi em uma
© série de Fourier de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenvolver a função no intervalo em uma série de Fourier. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de coeficientes de Fourier e como calculá-los.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o período da nossa função. Como o intervalo dado é de a , o período é . Isso é importante porque a série de Fourier depende do período da função.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Substituindo :
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para os cossenos. A fórmula é:
Substituindo :
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Usando integração por partes para a primeira integral e sabendo que a segunda integral de sobre um período completo é zero, obtemos:
Porque para qualquer inteiro .

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para os senos. A fórmula é:
Substituindo :
Dividindo a integral:
A segunda integral de sobre um período completo também é zero. Usando integração por partes para a primeira integral:
Avaliando de a :
Como :

Resposta

Então, juntando tudo, a série de Fourier da função no intervalo é:
Simplificando:

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