Determine, justificando, os autovalores e as autofunções do problema de contorno
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições de contorno:
Nosso objetivo é encontrar os valores de (autovalores) e as funções correspondentes (autofunções) que satisfazem essa equação com as condições dadas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e problemas de valor de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar os diferentes casos para , já que o comportamento da solução depende do sinal de :
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 3
Caso 1:
A equação fica:
A solução geral dessa equação é:
Agora, aplicamos as condições de contorno.
Primeiro, :
Segundo, :
Resolvendo o sistema de equações (1) e (2):
Subtraindo (1) de (2):
Então, e, pela equação (1), .
Isso implica que a única solução trivial é , que não é interessante para autovalores. Portanto, não é um autovalor válido.
Passo 4
Caso 2:
Vamos chamar , onde . A equação fica:
A solução geral dessa equação é:
Agora, aplicamos as condições de contorno.
Primeiro, :
Segundo, :
Calculando e :
Aplicando:
Agora, temos um sistema de equações (3) e (4):
Para ter soluções não triviais, o determinante do sistema deve ser zero:
Portanto:
Essa equação transcendental não pode ser resolvida analiticamente, então precisamos encontrar as raízes numericamente. Cada raiz dará um autovalor e uma autofunção correspondente.
Passo 5
Caso 3:
Vamos chamar , onde . A equação fica:
A solução geral dessa equação é:
Agora, aplicamos as condições de contorno.
Primeiro, :
Segundo, :
Calculando e :
Aplicando:
Agora, temos um sistema de equações (5) e (6):
Como antes, para ter soluções não triviais, o determinante do sistema deve ser zero:
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por :
Essa equação também é transcendental e não tem solução analítica simples, exigindo métodos numéricos para encontrar . No entanto, ao analisar o comportamento das funções, percebemos que não existem soluções reais para , pois as equações não se igualam para valores reais de .
Resposta
Os autovalores são os valores de , onde são as soluções positivas da equação . As autofunções correspondentes são dadas por:
onde e são constantes determinadas pelas condições de contorno.