Desenvolva f(x) = 2 x + 1, para 0 < x < 2 pi em uma
(a) série de cossenos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenvolver a função no intervalo em uma série de cossenos. Isso envolve usar a série de Fourier, especificamente a parte dos cossenos, que é útil quando a função é par ou queremos representar apenas componentes pares dela. Vamos precisar calcular os coeficientes dessa série, ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente , que representa a média da função no intervalo dado. A fórmula para é:
Aqui, substituímos por e calculamos a integral.

Passo 3

Vamos calcular :
Primeiro, integramos e separadamente:
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar os coeficientes para . A fórmula é:
Substituindo por :
Vamos dividir essa integral em duas partes:

Passo 5

Começamos com a segunda integral:
Sabemos que a integral de de a é zero, pois a função é periódica e simétrica.
Então,
Agora, focamos na primeira parte:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula da integração por partes :
Avaliado de a :
Simplificando, como e :
Então, a integral também é zero.

Passo 6

Com isso, todos os coeficientes são zero:

Resposta

A série de cossenos para no intervalo é:
Ou seja, só o termo constante está presente na série de cossenos.

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