Desenvolva
, para
em uma
(a) série de cossenos;
(a) série de cossenos;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenvolver a função
no intervalo
em uma série de cossenos. Isso envolve usar a série de Fourier, especificamente a parte dos cossenos, que é útil quando a função é par ou queremos representar apenas componentes pares dela. Vamos precisar calcular os coeficientes dessa série, ou seja,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo dado. A fórmula para
é:
Aqui, substituímos
por
e calculamos a integral.
Passo 3
Vamos calcular
:
Primeiro, integramos
e
separadamente:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar os coeficientes
para
. A fórmula é:
Substituindo
por
:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Passo 5
Começamos com a segunda integral:
Sabemos que a integral de
de
a
é zero, pois a função é periódica e simétrica.
Então,
Agora, focamos na primeira parte:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula da integração por partes
:
Avaliado de
a
:
Simplificando, como
e
:
Então, a integral também é zero.
Passo 6
Com isso, todos os coeficientes
são zero:
Resposta
A série de cossenos para
no intervalo
é:
Ou seja, só o termo constante
está presente na série de cossenos.
Exercícios relacionados
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de
no intervalo dado.
Use o fato de que
é uma função separávelpara calcular
Seja
periódica, com período igual a
, definida por
, para
. Determine a série de Fourier de
e a denote por
. A seguir, construa o gráfico de
. Justifique.
Desenvolva
, para
em uma
© série de Fourier de.
© série de Fourier de.