Use o fato de que
é uma função separávelpara calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral
usando o fato de que a função
é separável. Isso quer dizer que podemos decompor a função em partes que só dependem de
e de
separadamente. Vamos usar conceitos de cálculo integral e funções separáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser separável. A função
é separável porque podemos escrever como
. Isso facilita na hora de integrar, já que podemos separar as variáveis.
Passo 3
Agora, queremos calcular
, que é uma integral conhecida chamada de integral de Gauss. Para resolver isso, uma técnica comum é considerar o quadrado dessa integral:
Passo 4
Como
é separável, podemos multiplicar as integrais:
Passo 5
Agora, a gente vai calcular essa integral dupla usando coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
. A função fica
.
Passo 6
Transformando a integral para coordenadas polares:
Primeiro integramos em
:
Passo 7
Fazendo a substituição
, então
ou
. A integral fica:
Passo 8
Voltando à integral original:
Passo 9
Agora, sabemos que
, então tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Efetuando a mudança de variável
, calcule
Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
Use a mudança de variáveis para concluir que
Use a mudança de variáveis
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de
no intervalo dado.
Desenvolva
, para
em uma
(a) série de cossenos;
(a) série de cossenos;