Use o fato de que f(x, y)=e^-(x^2+y^2) é uma função separávelpara calcular
integral-infty^infty e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral usando o fato de que a função é separável. Isso quer dizer que podemos decompor a função em partes que só dependem de e de separadamente. Vamos usar conceitos de cálculo integral e funções separáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser separável. A função é separável porque podemos escrever como . Isso facilita na hora de integrar, já que podemos separar as variáveis.

Passo 3

Agora, queremos calcular I = integral-infty^infty e^-x^2 dx Rightarrow I^2 = ( integral-infty^infty e^-x^2 dx ) ( integral-infty^infty e^-y^2 dy ) , que é uma integral conhecida chamada de integral de Gauss. Para resolver isso, uma técnica comum é considerar o quadrado dessa integral:

Passo 4

Como I^2 = integral-infty^infty e^-x^2 dx cdot integral-infty^infty e^-y^2 dy = integral-infty^infty integral-infty^infty e^-(x^2 + y^2) dx dy é separável, podemos multiplicar as integrais:

Passo 5

Agora, a gente vai calcular essa integral dupla usando coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área vira . A função fica .

Passo 6

Transformando a integral para coordenadas polares:
I^2 = integral0^2pi integral0^infty e^-r^2 r dr dtheta
Primeiro integramos em integral0^infty e^-r^2 r dr :

Passo 7

Fazendo a substituição 12 integral0^infty e^-u du = 12 cdot 1 = 12 , então ou . A integral fica:

Passo 8

Voltando à integral original:
I^2 = integral0^2pi 12 dtheta = 12 cdot 2pi = pi

Passo 9

Agora, sabemos que I = raizpi , então tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

A integral é igual a .

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