Use a diferenciarado implícito pora determinar partial zpartial x e partial zpartial y: Sen(x y z)=x+2 y+3 z

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y usando a diferenciação implícita. A equação dada é Sen(x y z) = x + 2 y + 3 z. Para resolver isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia para derivadas e manipular a equação para isolar as derivadas que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, tratando z como uma função de x e y. Isso significa que, ao diferenciarmos z, precisamos multiplicar pela derivada de z em relação a x.
A equação é:
Sen(x y z) = x + 2 y + 3 z
Derivando ambos os lados em relação a x:
ddx[Sen(x y z)] = ddx[x + 2 y + 3 z]

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo:
cos(x y z) cdot ddx(x y z)
Agora, vamos derivar x y z em relação a x. Como y é tratado como constante em relação a x, temos:
ddx(x y z) = y z + x y partial zpartial x
Portanto, a derivada do lado esquerdo fica:
cos(x y z) cdot (y z + x y partial zpartial x)

Passo 4

Derivando o lado direito em relação a x:
ddx[x + 2 y + 3 z] = 1 + 3 partial zpartial x
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
cos(x y z) cdot (y z + x y partial zpartial x) = 1 + 3 partial zpartial x

Passo 5

Agora, vamos resolver para partial zpartial x. Primeiro, distribuímos o cosseno:
cos(x y z) cdot y z + cos(x y z) cdot x y partial zpartial x = 1 + 3 partial zpartial x
Isolando os termos com partial zpartial x:
cos(x y z) cdot x y partial zpartial x - 3 partial zpartial x = 1 - cos(x y z) cdot y z
Fatorando partial zpartial x:
( cos(x y z) cdot x y - 3 ) partial zpartial x = 1 - cos(x y z) cdot y z

Passo 6

Finalmente, isolamos partial zpartial x dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica a derivada:
partial zpartial x = 1 - cos(x y z) cdot y zcos(x y z) cdot x y - 3

Passo 7

Agora, repetimos o processo para encontrar partial zpartial y. Diferenciando ambos os lados da equação original em relação a y:
Derivando o lado esquerdo:
cos(x y z) cdot ddy(x y z) = cos(x y z) cdot (x z + x y partial zpartial y)
Derivando o lado direito:
ddy[x + 2 y + 3 z] = 2 + 3 partial zpartial y
Igualando as derivadas:
cos(x y z) cdot (x z + x y partial zpartial y) = 2 + 3 partial zpartial y
Resolvendo para partial zpartial y:
cos(x y z) cdot x z + cos(x y z) cdot x y partial zpartial y = 2 + 3 partial zpartial y
cos(x y z) cdot x y partial zpartial y - 3 partial zpartial y = 2 - cos(x y z) cdot x z
( cos(x y z) cdot x y - 3 ) partial zpartial y = 2 - cos(x y z) cdot x z
partial zpartial y = 2 - cos(x y z) cdot x zcos(x y z) cdot x y - 3

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 1 - cos(x y z) cdot y zcos(x y z) cdot x y - 3
e
partial zpartial y = 2 - cos(x y z) cdot x zcos(x y z) cdot x y - 3

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