Use a diferenciarado implícito pora determinar
e
:
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar as derivadas parciais
e
usando a diferenciação implícita. A equação dada é
. Para resolver isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia para derivadas e manipular a equação para isolar as derivadas que queremos encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
e
. Isso significa que, ao diferenciarmos
, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
.
A equação é:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo:
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
é tratado como constante em relação a
, temos:
Portanto, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 4
Derivando o lado direito em relação a
:
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, distribuímos o cosseno:
Isolando os termos com
:
Fatorando
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica a derivada:
Passo 7
Agora, repetimos o processo para encontrar
. Diferenciando ambos os lados da equação original em relação a
:
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Igualando as derivadas:
Resolvendo para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
©
©
A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força gravitacional entre dois objetos com massas
e
, localizados em
e
respectivamente, é dada pela função vetorial
onde
é a constante gravitacional.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional para mover uma partícula de massa
do ponto
ao ponto
.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional
Mostre que:
para
Desenvolva
em série de Laurent para:
;