Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
e)
e)
Passo 1
Então, a gente tem a função
definida no intervalo
. O que queremos fazer é desenvolver essa função em uma série de cossenos ou senos, que são tipos de séries de Fourier. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier, especialmente a série de cossenos, já que
é uma função par (simétrica em relação ao eixo y).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para funções pares (como
) utiliza apenas termos de cossenos. A série geral fica assim:
Aqui,
é o termo constante e
são os coeficientes dos cossenos que precisamos calcular.
Passo 3
Vamos calcular o termo
. A fórmula para
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Calculando a integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula é:
Novamente, com
:
Como
e
são funções pares, podemos simplificar a integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes:
- Seja
e . - Então,
e .
Aplicando:
Segunda integração por partes na integral restante:
- Seja
e . - Então,
e .
Aplicando:
Passo 7
Substituindo de volta:
Avaliando de
a
:
Sabendo que
e
, fica:
Passo 8
Então, o coeficiente
é:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é dada por:
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Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
j)
j)
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
e)
e)
Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
g)
g)
Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
l)
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