Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
e) f(x) = x^2, -1 < x < 1

Passo 1

Então, a gente tem a função definida no intervalo . O que queremos fazer é desenvolver essa função em uma série de cossenos ou senos, que são tipos de séries de Fourier. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier, especialmente a série de cossenos, já que é uma função par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para funções pares (como ) utiliza apenas termos de cossenos. A série geral fica assim:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes dos cossenos que precisamos calcular.

Passo 3

Vamos calcular o termo . A fórmula para é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Calculando a integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula é:
Novamente, com :
Como e são funções pares, podemos simplificar a integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral usando integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes:
  • Seja e .
  • Então, e .
Aplicando:
Segunda integração por partes na integral restante:
  • Seja e .
  • Então, e .
Aplicando:

Passo 7

Substituindo de volta:
Avaliando de a :
Sabendo que e , fica:

Passo 8

Então, o coeficiente é:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é dada por:

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Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
j) f(x) = 2|x| - 1
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
e) f(x) = e^( |x| )
Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
g) f(x) = pi^2 - x^2, -pi < x < pi
Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
l) f(x) = {-pi, -2 pi < x < -pi; x, -pi <= x < pi; pi, pi <= x < 2 pi}